Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Пусть Q будет полное количество электричества, которое прошло через это сечение от начала прохождения тока. Тогда количество, которое в момент времени t заключено между сечениями x и x+x, равно
Q
–
Q
+
dQ
dx
x
или
–
dQ
dx
x
,
и, по сказанному выше, эта величина равна cvx.
Следовательно,
cv
=
–
dQ
dx
.
(2)
Но электродвижущая
–
dv
dx
=
k
dQ
dt
,
(3)
где k - сопротивление единицы длины проводника, a dQ/dx - сила тока. Исключая Q из уравнений (2) и (3), находим
ck
dv
dt
=
d^2v
dx^2
.
(4)
Это уравнение в частных производных, которое нужно решить для того, чтобы получить потенциал в любой момент времени в любой точке кабеля. Оно совпадает с тем уравнением, которое Фурье даёт для определения температуры в любой точке слоя, через который течёт тепло в направлении, перпендикулярном к слою. В случае тепла c означает ёмкость единицы объёма (эту величину Фурье обозначает через CD), a k означает величину, обратную проводимости.
Если прослойка не является совершенным изолятором и если её сопротивление на единицу длины равно k1 при прохождении тока через слой в радиальном направлении, тогда, если удельное сопротивление изолирующего материала равно 1, легко показать, что
k
1
=
1
2
1
ln
a1
a2
.
(5)
Уравнение (2) уже не будет справедливым, поскольку электричество расходуется не только на зарядку жилы до величины, определяемой выражением cv но и на утечку, скорость которой определяется выражением vk1. Поэтому скорость расхода электричества будет
–
d^2Q
dxdt
=
c
dv
dt
+
1
k1
v
,
(6)
откуда, сравнивая с (3), получаем
ck
dv
dt
=
d^2v
dx^2
–
k
k1
v
.
(7)
Такой вид, согласно Фурье, имеет уравнение теплопроводности для стержня или кольца 1
1Theory de la Chaleur, Art. 105.
333. Если бы мы приняли, что при повышении потенциала тело электризуется во всем своём объёме так, как если бы электричество нагнеталось внутрь тела, мы бы пришли к уравнению точно такого же вида. Примечательно, что сам Ом, будучи введён в заблуждение этой аналогией между электричеством и теплотой, поддержал мнение такого рода и потому из-за этой ошибочной точки зрения использовал уравнение Фурье для того, чтобы описать истинные законы прохождения электричества по длинному проводу, задолго до того, как были усмотрены действительные причины применимости этих уравнений.
Механическое истолкование свойств диэлектриков
334. Пять трубок A, B, C, D и P равного поперечного сечения расположены так, как показано на рисунке. A, B, C и D расположены вертикально, а P - горизонтально [рис. 27].
Рис. 27
У трубок A, B, C, D нижняя половина наполнена ртутью, а их верхняя половина и горизонтальная трубка P наполнены водой.
Трубка с запорным краном Q соединяет нижнюю часть трубок A и B с нижней частью трубок C и D, а поршень P сделан так, чтобы он мог скользить в горизонтальной трубке.
Начнём с предположения, что уровень ртути во всех четырёх трубках один и тот же, и обозначим этот уровень через A0, B0, C0 и D0 Пусть при этом поршень находится в положении P0, а запорный кран Q закрыт.
Пусть теперь поршень перемещается из положения P0 в положение на расстояние a. Тогда, поскольку сечения всех трубок равны, уровень ртути в A и C поднимется на высоту a, т. е. до отметок A1 и C1 а ртуть в B и D опустится на такое же расстояние a, т.е. до отметок B1 и D1.
Разность давлений по обе стороны поршня будет представлена величиной 4a.
Эту установку можно использовать для того, чтобы представить диэлектрик, на который действует электродвижущая сила, равная 4a.
Можно считать, что избыток воды в трубке D представляет положительный заряд электричества на одной стороне диэлектрика, а избыток ртути в трубке A может представлять отрицательный заряд на другой стороне. Тогда избыток давления в трубке P с той стороны поршня, которая обращена к D будет представлять избыток потенциала на положительной стороне диэлектрика.
Если поршень может двигаться, он будет двигаться назад к положению P0, где он будет в равновесии. Это представляет полный разряд диэлектрика.
Во время разряда имеет место обратное движение жидкостей во всей установке, и оно представляет то изменение электрического смещения, которое, по нашему предположению, имеет место в диэлектрике.
Я предположил, что каждая часть системы трубок наполнена несжимаемыми жидкостями, с тем чтобы представить свойство полного электрического смещения, состоящее в том, что ни в каком месте не происходит действительного накопления электричества.
Теперь рассмотрим, что произойдёт, если мы откроем запорный кран Q в то время, когда поршень P находится в положении Q1.
Уровни A1 и D1 останутся неизменными, но уровни в трубках B и C станут одинаковыми и убудут совпадать с B0 и C0.
Открытый запорный кран Q отвечает наличию в диэлектрике части, которая обладает некоторой проводящей способностью, но которая не простирается через весь диэлектрик так, чтобы образовать открытый канал.