Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
349. Предположим, что нам нужно определить отношение сопротивлений двух проводников AB и AC и что это нужно сделать, отыскав такую точку O проводника BOC, что если точки O и A соединить проводом с введённым в него гальванометром, а между B и C включить батарею, то заметного отклонения стрелки гальванометра не произойдёт.
Можно предположить, что проводник BOC представляет собой провод с однородным сопротивлением, разделённый на равные части, и поэтому отношение сопротивлений BO и OC можно отсчитывать сразу.
Можно не делать весь проводник однородным, а сделать из однородного провода
Теперь мы будем использовать обозначения, отличающиеся от симметричных обозначений, с которых мы начали.
Пусть сопротивление BAC равно R, c=mR и b=(1-m)R, полное сопротивление BOC равно S, =nS и =(1-n)S.
Величина n отсчитывается непосредственно, а величина m определяется по n в положении, когда нет заметного отклонения гальванометра.
Обозначим сопротивление батареи и её соединений через B, а сопротивление гальванометра и его соединений - через G.
Находим, как раньше,
D
=
G
{
BR
+
BS
+
RS
}
+
m(1-m)R^2(B+S)
+
+
n(1-n)S(B+R)
+
(m+n-2mn)BRS
,
и если - ток в проводе гальванометра, то
=
ERS
D
(m-n)
.
Чтобы получить наиболее точные результаты, мы должны сделать отклонение стрелки настолько большим, насколько это возможно в сравнении с (m-n) Этого можно добиться, подбирая надлежащим образом размеры гальванометра и провод стандартного сопротивления.
Когда мы дойдём до Гальванометрии, п. 716, будет показано, что если у проволоки в гальванометре менять форму, оставляя неизменной массу, то отклонение стрелки на единицу тока пропорционально длине, но сопротивление возрастает как квадрат длины. Отсюда следует, что максимальное отклонение имеет место в том случае, когда сопротивление проволоки в гальванометре равно постоянному сопротивлению остальной цепи.
Для настоящего случая, если отклонение обозначить через , имеем =CG, где C - некоторая постоянная, a G - сопротивление гальванометра, которое меняется как квадрат длины проволоки. Отсюда мы находим, что, когда величина достигает максимума, та часть выражения для D, которая содержит G, должна быть равна остальной части выражения.
Если мы также положим m=n как это имеет место в случае, если мы произвели правильное измерение, мы находим, что наилучшее значение G равно G=n(1-n)(R+S).
Этот результат легко получить, рассматривая сопротивление системы между точками A и O с учётом того, что отрезок BM сопряжён отрезку AO и не влияет на это сопротивление.
Таким же путём мы могли бы найти, что если задана полная площадь активных поверхностей батареи, то, поскольку в этом случае величина E пропорциональна B, наиболее выгодное устройство батареи достигается при условии
B
=
RS
R+S
.
Наконец, мы определим такое значение S, при котором данное изменение
S^2
=
BR
B+R
R
+
G
n(1-n)
.
Если нам нужно проделать очень много измерений сопротивления, в которых величина имеющихся сопротивлений примерно одна и та же, имеет смысл специально подготовить для этой цели батарею и гальванометр. В этом случае мы находим, что наилучшее устройство достигается при S=R, B= 1/2 R, G=2n(1-n)R, и если n= 1/2 , то G= 1/2 R.
Об использовании Мостика Уитстона
350. Мы уже объяснили общую теорию Мостика Уитстона, теперь рассмотрим некоторые из его применений.
С наибольшей точностью может быть проведено сравнение двух равных сопротивлений.
Предположим, что - стандартная катушка сопротивления и мы хотим отрегулировать катушку так, чтобы по своему сопротивлению она была равна [рис. 33].
Рис. 33
Приготовляются ещё две катушки b и c, которые равны или почти равны друг другу, и электроды всех четырёх катушек помещаются в ртутные чашки таким образом, что ток батареи разделяется между двумя ветвями, из которых одна состоит из и , а другая - из b и c. Катушки b и c соединены проводом PR, сопротивление которого настолько однородно, насколько это возможно. Вдоль провода PR расположена шкала с равными делениями.
Провод гальванометра подведён одним концом к точке соединения и , другим - к точке Q на проводе PR, и точка контакта Q перемещается до такого положения, при котором после замыкания сначала цепи батареи, а затем цепи гальванометра не наблюдается отклонения стрелки гальванометра.
После этого катушки и меняют местами и отыскивается новое положение Q. Если это новое положение оказывается тем же, что и старое, то мы знаем, что перемена местами сопротивлений и не привела к изменению в соотношении сопротивлений, и, следовательно, катушка у отрегулирована правильно. Если контакт Q нужно перемещать, то направление и величина перемещения указывают на характер и величину изменений в длине провода , после которых сопротивление катушки у станет таким же, как у катушки .
Если сопротивления катушек b и c, каждое из которых включает в себя сопротивление части провода PR до его нулевого отсчёта, равны соответственно сопротивлениям бис делений провода и если x - показание шкалы для точки Q в первом случае, а y - во втором, то
c+x
b-x
=
,
c+y
b-y
=
,
откуда
^2
^2
=
1-
(b+c)(y-x)
(c+x)(b-y)
Поскольку величина b-y примерно равна величине c+x и обе эти величины велики в сравнении с x или y мы можем записать последнее равенство в виде