Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

347. Мостик Уитстона состоит, по существу, из шести проводников, соединяющих четыре точки. К двум из этих точек прикладывается электродвижущая сила E с помощью вольтовой батареи, введённой между B и C. Ток между двумя другими точками O и A измеряется гальванометром [рис. 32].

Рис. 32

При определённых условиях этот ток обращается в нуль. Тогда говорят, что проводники BC и OA сопряжены один другому, что накладывает определённую связь

на сопротивления других четырёх проводников, и эта связь используется при измерении сопротивлений.

Если ток через OA равен нулю, потенциал в точке O должен быть равен потенциалу в точке A. Но если мы знаем потенциалы в B и C, мы можем определить потенциалы в O и A с помощью правил, данных в п. 275, с учётом того, что ток в OA отсутствует:

O

=

B+C

+

,

A

=

Bb+Cc

b+c

,

откуда получаем условие b=c, где b, c, , обозначают соответственно сопротивления участков CA, AB, BO и OC.

Чтобы определить степень точности, достижимую в этом методе, мы должны определить силу тока в OA если это условие не выполнено точно.

Пусть A, B, C, и O - четыре точки. Пусть токи, текущие вдоль BC, CA, и AB, равны соответственно x, y и z, а сопротивления этих проводников - a, b и c. Пусть токи, текущие вдоль OA, OB и OC равны , , , а соответствующие сопротивления равны , и . Пусть электродвижущая сила E действует вдоль BC Требуется определить ток через OA.

Обозначим потенциалы в точках A, B, C и O буквами A, B, C и O. Уравнения, определяющие прохождение тока, будут

ax

=

B-C+E,

=

O-A,

by

=

C-A,

=

O-B,

cz

=

A-B,

=

O-C,

а уравнения непрерывности:

+y+z

=

0,

+z-x

=

0,

+x-y

=

0.

Рассматривая систему как образованную тремя цепями OBC, OCA и OAB в которых токи соответственно равны x, y, и z, и применяя к каждой замкнутой цепи правило Кирхгофа, мы исключаем значения потенциалов O, A, B, C и токов , , и получаем следующие уравнения для x, y, и z:

(a++)

x

–

y

–

z

=

E,

–

x

+(b++)

y

–

z

=

0,

–

x

–

y

+(c++)

z

=

0.

Отсюда, если мы положим

D

=

a++,

– ,

– ,

,

– ,

b++,

– ,

– ,

– ,

c++

найдём

=

E

D

(b-c)

и

x

=

E

D

{

(b+)

(c+)

+

(b+c++)

}.

348. Значение D можно выразить в симметричной форме

D

+

abc

+

bc(+)

+

ca(+)

+

ab(+)

+

+

(a+b+c)

(++)

,

или, так как мы предполагаем, что батарея составляет часть проводника a, а гальванометр - часть проводника , можем вместо а писать сопротивление батареи B, а вместо a - сопротивление гальванометра G. Мы тогда находим

D

=

BG

(b+c++)

+

B(b+)(c+)

+

+

G(b+c)(+)

+

bc(+)

+

+(b+c)

.

Если бы электродвижущая сила E действовала вдоль отрезка OA, причём сопротивление отрезка OA было бы по-прежнему равно , и если бы гальванометр был включён в BC, причём сопротивление BC было бы по-прежнему равно a, то величина D не изменилась бы и ток в BC, вызванный электродвижущей силой E, действующей вдоль OA, был бы равен току в OA, вызванному электродвижущей силой E, действующей в BC.

Но если мы просто отъединим батарею и гальванометр и, не меняя их соответствующих сопротивлений, присоединим батарею к точкам O и A, а гальванометр - к точкам B и C, то в выражении для D мы должны поменять местами B и G. Если обозначить через D' выражение, в которое переходит D после такой перестановки, мы находим

D-D'

=

(G-B)

{

(b+c)

(+)

–

(b+)

(+c)

}=

=

(B-G)

{

(b-)

(c-)

}.

Предположим, что сопротивление гальванометра больше, чем сопротивление батареи.

Предположим также, что в своём первоначальном положении гальванометр соединяет контакт двух проводников, и , обладающих наименьшими сопротивлениями, с контактом двух проводников b, c, обладающих наибольшими сопротивлениями. Другими словами, мы будем предполагать, что если величины b, c, , расположены в порядке возрастания, то b и c стоят рядом и и стоят рядом. Поэтому величины b- и c- имеют один и тот же знак, вследствие чего их произведение положительно, и потому D-D' имеет тот же самый знак, что B-G.

Следовательно, если сделать так, чтобы гальванометр соединял контакт между двумя наибольшими сопротивлениями с контактом между двумя наименьшими сопротивлениями, и если у гальванометра сопротивление больше, чем у батареи, то величина D будет меньше, а величина отклонения гальванометра - больше по сравнению с тем случаем, когда соединения переставлены местами.

Отсюда вытекает следующее правило для получения наибольших отклонений гальванометра в данной системе: из двух сопротивлений, батареи и гальванометра, большее нужно подключить так, чтобы оно соединяло два наибольших и два наименьших из остальных четырёх сопротивлений.