Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
На рис. VI показана разность двух зональных гармоник третьего порядка, оси которых наклонены под углом 120° в плоскости рисунка. Эта разность представляет собой гармонику второго типа с =1 и осью, перпендикулярной рисунку.
На рис. VII также показана гармоника третьего порядка, но оси зональных гармоник, сумма которых построена, наклонены под углом 90°, и результат не относится к какому-либо типу симметричной системы. Одна из узловых линий - большой круг, но две другие, пересекаемые ею, не являются кругами.
На рис. VIII показана разность двух зональных гармоник четвёртого порядка, оси которых перпендикулярны. В результате
На рис. IX показана сумма этих же гармоник. Результат даёт представление об одном из типов гармоник четвёртого порядка общего вида. Для этого типа узловая линия состоит из шести непересекающихся овалов. Внутри этих овалов гармоника положительна, а в шестисвязной области сферической поверхности, лежащей вне овалов, гармоника отрицательна.
На всех этих графиках показаны ортогональные проекции сферической поверхности.
Я построил также на рис. V плоское сечение через ось сферы, чтобы показать эквипотенциальные поверхности и силовые линии, создаваемые сферической поверхностью, на которой распределение поверхностного заряда определяется сферической гармоникой первого порядка.
Внутри сферы эквипотенциальные поверхности являются эквидистантными плоскостями, а силовые линии - прямые, параллельные оси, причём их расстояния от оси пропорциональны квадратным корням из натуральных чисел. Линии вне сферы могут служить примером того, как выглядели бы характеристики магнитного поля Земли, если бы земной магнетизм был распределён наиболее простым образом.
144 а. Теперь мы в состоянии найти распределение электричества на сферическом проводнике под действием электрических сил с заданным потенциалом.
Указанными выше методами разложим заданный потенциал в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в центре сферы.
Пусть AnrnYn– одна из этих гармоник. Поскольку на проводящей сфере потенциал постоянен, то должен существовать член -AnrnYn, обусловленный распределением заряда по поверхности сферы, а значит, в разложение 4 должно входить слагаемое 4n=(2n+1)anAnYn.
Таким образом, мы можем определить коэффициенты всех гармоник в выражении для поверхностной плотности, за исключением нулевой. Коэффициент перед гармоникой нулевого порядка зависит от заряда e сферы и даётся соотношением 40=a– 2e.
Потенциал сферы равен V=0+(e/a).
144 б. Пусть теперь сфера помещена вблизи заземлённых проводников и известна Функция Грина G от координат любых двух точек x, y, z и x', y', z' в области, куда помещена сфера.
Если поверхностная плотность на сфере представлена как ряд по сферическим гармоникам, то проявления электричества вне сферы в точности такие же, какие были бы при помещении ряда воображаемых особых точек в центре сферы, первая из которых представляет собой простой точечный заряд, равный заряду сферы, а остальные - кратные точки различного порядка, соответствующие гармоникам плотности заряда на поверхности сферы.
Обозначим функцию Грина через Gpp', где индекс p указывает точку с координатами x, y, z, а индекс p' - точку с координатами x', y', z'.
Если заряд A0 помещён в точку p', то, считая x', y', z' постоянными, мы можем рассматривать Gpp' как функцию от x, y, z. Потенциал, создаваемый электричеством, наведённым на окружающих телах зарядом A0, равен
=
A
0
G
pp'
.
(1)
Если бы заряд A0 находился не в точке p', а был равномерно распределён по сфере радиуса a с центром в точке p', то значение в точках вне сферы осталось бы таким же.
При неравномерном распределении заряда по сфере представим поверхностную плотность заряда в виде ряда по сферическим гармоникам
4a^2
=
A
0
+
3A
1
i
1
+…+
(2n-1)
3A
n
Y
n
+…
,
(2)
что всегда можно сделать.
Потенциал, создаваемый каждым членом этого разложения, например членом
4a^2
=
(2n+1)
A
n
Y
n
,
(3)
равен
rn
an+1
A
n
Y
n
в точках внутри сферы и
an
rn+1
A
n
Y
n
в точках вне сферы.
Последнее выражение, согласно (13), (14) из п. 129 в и 129 г, равно
(-1)
n
A
n
an
n!
dn
dh1…dhn
1
r
,
т.е. потенциал вне сферы, создаваемый распределением заряда на поверхности сферы, такой же, как от определённой кратной точки с осями h1,…,hn, и моментом Anan. Следовательно, распределение электричества на окружающих проводниках и потенциал, создаваемый этим распределением, будут такими же, как и для такой кратной точки.