Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

d

–

d

d

–

sin

d

d

+

d

d

.

(59)

Таким образом, если положить

i

d

d

–

d

d

=

D

S

,

d

d

+

d

d

=

D

C

,

то

операции дифференцирования по осям можно выразить через

D

S

,

D

C

.

В действительности это, конечно, вещественные операции, которые могут быть выражены и без комплексных обозначений. Так,

2

^{– 1}

D

S

=

d^{– 1}

dx^{– 1}

d

dy

–

(-1)(-2)

1·2·3

d^{– 3}

dx^{– 3}

d^3

dy^3

+…

,

(60)

2

^{– 1}

D

C

=

d

dx

–

(-1)

1·2

d^{– 2}

dx^{– 2}

d^2

dy^2

+…

.

(61)

Мы будем также писать

d^n-

dz^n-

D

S

=

D

S

n

 и

d^n-

dz^n-

D

C

=

D

C

n

,

(62)

так что

D

S

n

 и

D

C

n

обозначают операции дифференцирования по n осям, из которых n- совпадают с осью z, а остальные расположены под равными углами друг к другу в плоскости xy, причём обозначение

D

S

n

применяется, если ось y совпадает с одной из этих осей, а

D

C

n

– когда ось y делит пополам угол между осями.

Обе тессеральные поверхностные гармоники порядка n типа можно теперь представить в виде

Y

S

n

=

(-1)

ⁿ

1

n!

r

ⁿ⁺¹

D

S

n

,

(63)

Y

C

n

=

(-1)

ⁿ

1

n!

r

ⁿ⁺¹

D

C

n

,

(64)

Положив =cos , =sin , ^2=x^2+y^2, r=+z^2, так что z=r, =r, x= cos, y= sin, получим

D

S

1

r

=

(-1)

(2)!

2²!

i(

–

)

1

r²⁺¹

,

(65)

D

C

1

r

=

(-1)

(2)!

2²!

(

+

)

1

r²⁺¹

,

(66)

где можно положить

i

2

(

–

)

=

sin

,

1

2

(

+

)

=

cos

.

(67)

Остаётся лишь продифференцировать по z что мы и проделаем, выразив результат либо через r и z, либо как однородную функцию от z и , делённую на некоторую степень r:

d^n-

dz^n-

1

r²⁺¹

=

(-1)

^n-

(2n)!

2ⁿn!

2!

(2)!

1

r²ⁿ⁺¹

x

x

z

^n-

–

(n-)(n--1)

2(2n-1)

z

^n--2

r

²

(68)

или

d^n-

dz^n-

1

r²⁺¹

=

(-1)

^n-

(n+)

(2)!

1

r²ⁿ⁺¹

x

x

z

^n-

–

(n-)(n--1)

2(2n-1)

z

^n--2

²

.

(69)

Если ввести

n

=

^n-

–

(n-)(n--1)

2(2n-1)

^n--2

+

+