Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

dVn

– (n+1)V

(17)

Поэтому первые два слагаемых в правой части (16) взаимно сокращаются, а поскольку Vn удовлетворяет уравнению Лапласа, то и третье слагаемое равно нулю, так что и Hn удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является пространственной гармоникой степени n.

Здесь мы имеем дело с частным случаем более общей теоремы об электрической инверсии, утверждающей, что если F(x, y, z) - функция от x, y, z, удовлетворяющая

уравнению Лапласа, то существует другая функция

a^2x

r^2

a^2y

r^2

a^2z

r^2

также удовлетворяющая уравнению Лапласа (см. п. 162).

130 б. Поверхностная гармоника Yn содержит 2n произвольных переменных, так как она определяется положением n её полюсов на сфере, а каждый полюс определяется двумя координатами. Следовательно, пространственные гармоники Vn и Hn также родержат 2n произвольных переменных. При этом обе они после умножения на постоянную удовлетворяют уравнению Лапласа.

Чтобы показать, что AHn– наиболее общая рациональная однородная функция степени n, которая может удовлетворять уравнению Лапласа, заметим, что общая рациональная однородная функция K степени n содержит (n+1)(n+2)/2 членов. Но ^2K является однородной функцией степени n-2 и, следовательно, содержит n(n-1)/2 членов, так что условие ^2K=0 требует равенства каждого из этих членов нулю. Таким образом, мы получаем n(n-1)/2 уравнений для (n+1)(n+2)/2 членов функции K, так что в наиболее общей форме однородной функции степени n, удовлетворяющей уравнению Лапласа, остаётся 2n+1 произвольных постоянных. Но Hn после умножения на произвольную постоянную как раз удовлетворяет требуемым условиям и содержит 2n+1 произвольных постоянных. Таким образом, это и есть наиболее общая форма.

131 а. Теперь мы можем построить распределение потенциала, при котором ни сам потенциал, ни его первые производные не обращаются в бесконечность ни в одной точке.

Функция Vn=Ynr– (n+1) удовлетворяет условию обращения в нуль на бесконечности, но становится бесконечной в начале координат.

Функция Vn=Ynrn конечна и непрерывна на конечных расстояниях от начала координат, но не обращается в нуль на бесконечности.

Но если принять потенциал во всех точках вне сферы радиуса а с центром в начале координат равным an=Ynr– (n+1), а потенциал во всех точках внутри сферы равным a– (n+1)=Ynrn и предположить, что на самой сфере электричество распределено с поверхностной плотностью , определяемой соотношением

4a^2

(2n+1)

(18)

то все условия для потенциала, создаваемого заряженной так оболочкой, будут выполнены.

Действительно, потенциал всюду конечен и непрерывен и обращается в нуль на бесконечности. Первые производные потенциала всюду конечны и непрерывны, за исключением заряженной поверхности, где они удовлетворяют уравнению

dV'

(19)

и уравнение Лапласа удовлетворяется во всех точках как внутри, так и вне поверхности сферы.

Таким образом, это распределение потенциала удовлетворяет всем условиям, и, согласно п. 100 в, оно является единственным распределением, удовлетворяющим этим условиям.

131 б. Потенциал, создаваемый сферой радиуса a с поверхностной плотностью, задаваемой соотношением

4a^2

(20)

во всех точках вне сферы совпадает с потенциалом соответствующей особой точки n-го порядка.

Предположим теперь, что имеется некоторая электрическая система E расположенная вне сферы, и что - потенциал, создаваемый этой системой. Найдём значение (e) для особой точки. Эта величина даёт часть электрической энергии, зависящую от воздействия внешней системы на особую точку.

Если A0– заряд особой точки нулевого порядка, то искомая потенциальная энергия равна

(21)

Если имеются две такие точки, причём отрицательная находится в начале координат, а положительная точка с тем же по величине зарядом - на конце оси h1 то потенциальная энергия равна

– A