Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

Для этого нужно построить пространственную гармонику Y^mr_m и продифференцировать её по каждой из n осей Y_n.

Любой член Y^mr_m типа r^mm-2ss может быть представлен в виде

r

^2s

p

m-2s

m

s

nm

.

Дифференцируя его n раз последовательно по n осям Y_n, мы увидим, что при дифференцировании r^2s

по s из этих осей у нас появятся s раз величины p_n и численный множитель 2s(2s-2) т. е. 2^ss! Продолжение дифференцирования на следующие s осей превращает эти p_n в _nn, но не вводит никаких дополнительных численных множителей, а при дифференцировании по остальным n-2s осям множители p_m переходят в _mn, так что в результате получается

2

^s

s!

s

nn

s

mm

n-2s

mn

.

Таким образом, согласно (31),

Y

_m

Y

_n

ds

=

4

n!(2n+1)

a

^n-m+2

dⁿ(Y_mr^m)

dh₁…dh_n

,

(44)

а по (43)

Y

_m

r

^m

=

S

(-1)

^s

(2m-2s)!

2^m-sm!(m-s)!

(

r

^2s

p

m-2s

m

s

mm

)

.

(45)

Следовательно, произведя дифференцирование и вспомнив, что m=n, получим

Y

_m

Y

_n

ds

=

4a^2

(2n+1)(n!)^2

x

x

S

(-1)

^s

(2n-2s)!s!

2^n-2s(n-s)!

(

s

mm

s

nn

n-2s

mn

)

.

(46)

135 а. Выражение (46) для поверхностного интеграла от произведения двух поверхностных гармоник принимает весьма замечательный вид в случае, когда все оси одной из гармоник, скажем Y_m, совпадают друг с другом, так что Y_m становится так называемой «зональной гармоникой порядка m», определяемой нами ниже и обозначаемой символом P_m.

В этом случае все косинусы вида _nm можно записать как _n где _n– косинусы угла между общей осью P_m и одной из осей Y_m. Косинусы типа _mm все равны единице, так что вместо

s

mm

нужно подставить число сочетаний без повторения индексов по s символов из n, характеризующихся двумя индексами. Отсюда следует, что

s

mm

=

n!

2^ss!(n-2s)!

.

(47)

Число перестановок оставшихся (n-2s) индексов осей P_m равно (n-2s)! Следовательно,

(

n-2s

mn

)

=

(n-2s)!

^n-2s

.

(48)

Таким образом, в случае, когда все оси Y_m совпадают друг с другом, уравнение (46) принимает вид

Y

_n

P

_m

ds

=

4a^2

(2n+1)(n!)^2

S

(-1)

^s

(2n-2s)!

2^n-2s(n-s)!

(

^n-2s

ⁿ

)

(49)

=

4a^2

2n+1

Y

_n(m)

, согласно (43),

(50)

где Y_n(m)– значение Y_n в полюсе P_m.

К этому результату можно прийти и следующим более коротким путём:

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось z совпала с осью m и пусть Y_nrⁿ представлено как однородная функция x, y, z степени n.

В полюсе P_m x=y=0, a z=r так что если Czⁿ слагаемое, не содержащее x и y, то C есть значение Y_n в полюсе P_m.

Уравнение (31) принимает в этом случае вид

Y

_n

P

_m

ds

=

4a^2

2n+1

1

n!

d^m

dz^m

(Y

_n

r

ⁿ

)

.

Поскольку m равно n, то дифференцирование Czⁿ даёт n!C, а остальные члены дают нуль. Следовательно,

Y

_n

P

_m

ds

=

4a^2

2n+1

C

,

где C - значение Y_n в полюсе P_m.

135 б. Это очень важный результат теории сферических гармоник, так как он показывает, как найти ряд сферических гармоник, выражающий значение величины, которая принимает произвольно заданные конечные и непрерывные значения во всех точках сферической поверхности.

Действительно, пусть F - значение этой величины в точке Q сферы, a ds - элемент её поверхности. Умножим Fds на P_n, зональную гармонику с полюсом в точке P на той же сферической поверхности, и проинтегрируем по поверхности. Полученный результат, поскольку он зависит от положения точки P, можно рассматривать как функцию положения точки P.