Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

Величины pq равны единице, если и p и q меньше n- равны нулю, если один из индексов больше n-, а другой меньше, и равны cos s/, если оба индекса больше n-. Здесь s - целое число, меньшее .

138. Если все полюса совпадают с полюсом сферы, т. е. =0, то соответствующая гармоника называется Зональной гармоникой. Поскольку зональная гармоника имеет важное значение, мы выделим ей специальное обозначение Pn.

Значение зональной гармоники можно найти либо из тригонометрического представления (43), либо непосредственно дифференцированием:

(-1)

rn+1

dzd

(53)

1·3·5…(2n-1)

1·2·3…n

–

n(n-1)

2(2n-1)

n-2

n(n-1)(n-2)(n-3)

2·4·(2n-1)(2n-3)

n-4

– …

(-1)

(2n-2p)!

2np!(n-p)!(n-2p)!

n-2p

(54)

где p

принимает все целые значения от нуля до наибольшего целого, не превышающего n/2.

Иногда удобно представить Pn как однородную функцию от cos и sin , или, в наших обозначениях, от и :

–

n(n-1)

2·2

n-2

n(n-1)(n-2)(n-3)

2·2·4·4

n-4

– …

(-1)

22p(p!)2(n-2p)!

n-2p

(55)

В математических исследованиях по этому вопросу доказывается, что Pn является коэффициентом при hn в разложении (1-2h+h2)– 1/2 и что Pn равно также

2nn!

(^2-1)

Поверхностный интеграл от квадрата зональной гармоники равен

)^2

2a^2

– 1

)^2

4a^2

2n+1

(56)

так что

– 1

)^2

2n+1

(57)

139. Если зональная гармоника рассматривается просто как функция от без специальной ссылки на сферическую поверхность, она может быть названа Коэффициентом Лежандра.

Если же рассматривать зональную гармонику на сферической поверхности, точки которой определяются координатами и , и принять, что полюс зональной гармоники находится в точке (','), то значение зональной гармоники в точке (,) будет функцией четырёх углов ', ', , , но поскольку оно зависит лишь от , т. е. от косинуса дуги, соединяющей точки (,) и (',') оно не меняется при замене на ' и на ' и наоборот. Выраженная так зональная гармоника называется Коэффициентом Лапласа. Томсон и Тэт называют её Биаксиальной Гармоникой.

Любая однородная функция от x, y, z, удовлетворяющая уравнению Лапласа, может быть названа Пространственной гармоникой, а значение пространственной гармоники на поверхности сферы с центром в начале координат может быть названо Поверхностной гармоникой. В этой книге мы определили поверхностную гармонику через её n полюсов, так что в ней только 2n переменных. Пространственная гармоника в более широком смысле, имеющая 2n+1 переменных, отличается от пространственной гармоники в узком смысле слова умножением на произвольную постоянную. Пространственная гармоника в широком смысле слова, выраженная через и , называется Функцией Лапласа.

140 а. Чтобы получить другие гармоники симметричной системы, нужно продифференцировать по о осям, лежащим в плоскости xy и образующим друг с другом угол /. Это удобнее всего сделать с помощью системы комплексных координат, приведённой в Natural Philosophy Томсона и Тэта (т. I, с. 148 первого издания, с. 185 - второго).

Если положить =x+iy, =x-iy, где i означает -1, то операция дифференцирования по осям , одна из которых образует угол с осью x может быть записана для нечётных следующим образом: