Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
129 в. Потенциал особой точки нулевого порядка
V
0
=
A
0
/r
(9)
удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, любая функция, получающаяся из него последовательным дифференцированием по любому числу осей, также должна удовлетворять этому уравнению.
Точку первого порядка можно получить, взяв две точки нулевого порядка с равными, но противоположными по знаку зарядами -A0 и A0 и поместив первую точку в начало координат, а вторую на конце оси h1. Затем нужно
V
1
=
– h
1
d
dh1
V
0
=
A
1
1
r^2
.
(10)
Поместив в начало координат точку первого порядка с моментом -A1 а на конце оси h2 другую точку первого порядка с моментом A1 и уменьшая затем h2 с одновременным увеличением A1, так что
A
1
h
2
=
A
2
/2
,
(11)
мы получим точку второго порядка, потенциал которой
V
2
=
– h
2
d
dh2
V
1
=
A
2
312– 12
x^2
.
(12)
Точку второго порядка можно назвать четырехкратной (квадрупольной) точкой, так как она получается при сближении четырёх точек нулевого порядка. Она имеет две оси h1 и h2 и момент A2. Направления этих осей и величина момента полностью определяют характер точки.
Последовательно дифференцируя по n осям мы получим потенциал, создаваемый точкой n-го порядка. Он представляет собой произведение трёх множителей-константы, некоторой комбинации косинусов и r– (n+1). По причинам, которые станут ясны в дальнейшем, значение константы удобно выбирать так, что при совпадении всех осей с радиус-вектором коэффициент момента равен r– (n+1). Поэтому мы будем делить на n при дифференцировании по hn.
Таким образом, мы получим вполне определённое численное значение для каждого потенциала, которому мы и присвоим название Пространственной Гармоники степени -(n+1), а именно
V
n
=
(-1)
n
1
1·2·3…n
d
dh1
d
dh2
…
d
dhn
1
r
.
(13)
При умножении этой величины на постоянную она по-прежнему остаётся потенциалом, создаваемым некоторой точкой n-го порядка.
129 г. Результат операции (13) имеет вид
V
n
=
Y
n
r
– (n+1)
,
(14)
где Yn– функция n косинусов 1, 2, …, n углов между r и n осями и n(n-1)/2 косинусов 12 и т. д. углов между парами осей.
Если считать направления r и n осей задаваемыми точками на сферической поверхности, то можно рассматривать Yn как величину, меняющуюся от точки к точке на этой поверхности и являющуюся функцией n(n+1)/2 расстояний между n полюсами осей и полюсом радиус-вектора. Поэтому мы называем Yn Поверхностной Гармоникой порядка n.
130a. Теперь мы покажем, что каждой поверхностной гармонике порядка n соответствует наряду с пространственной гармоникой порядка -(n+1) и другая порядка n, т. е. что
H
n
=
Y
n
r
n
=
V
n
r
2n+1
(15)
удовлетворяет уравнению Лапласа.
Действительно,
dHn
dx
=
(2n+1)
r
2n-1
xY
n
+
r
2n-1
dVn
dx
,
d^2Hn
dx^2
=
(2n+1)
[(2n-1)x^2+r^2]
r
2n-3
Y
n
+
+
2(2n+1)
r
2n-1
x
dVn
dx
+
r
2n+1
d^2Vn
dx^2
,
поэтому
dHn
dx
+
dHn
dy
+
dHn
dz
=
(2n+1)
(2n+2)
r
2n-1
Y
n
+
+
2(2n+1)
r
2n-1
x
dVn
dx
+
y
dVn
dy
+
z
dVn
dz
+
+
r
2n+1
d^2Vn
dx^2
+
d^2Vn
dy^2
+
d^2Vn
dz^2
.
(16)
Ho Vn– однородная функция от x, y, z, отрицательной степени n+1, так что
x
dVn
dx
+
y
dVn
dy
+
z