Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

Если имеется ещё другой силовой центр, мы можем тем же способом построить эквипотенциальные поверхности, относящиеся к нему, и если теперь задаться целью найти форму эквипотенциальных поверхностей, обусловленных обоими центрами, то следует лишь вспомнить, что если V₁– потенциал, создаваемый одним центром, а V₂– потенциал, создаваемый другим центром, то обусловленный обоими центрами потенциал равен V₁+V₂=V. Поскольку во всех точках пересечения эквипотенциальных поверхностей, относящихся к обоим семействам, мы знаем и V₁ и V₂ мы знаем также и значение V

в них. Поэтому, если построить поверхность, проходящую через все те точки пересечения, для которых V имеет одно и то же значение, то эта поверхность совпадёт с истинной эквипотенциальной поверхностью во всех этих точках пересечения, и при достаточной густоте Построения исходной системы поверхностей можно построить новую поверхность с любой требуемой точностью. Эквипотенциальные поверхности, соответствующие Двум точечным зарядам, равным по величине, но противоположным по знаку, Показаны сплошными линиями справа на рис. 5.

Рис. 5. Метод построения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей

Этот метод может быть применён для построения произвольной системы эквипотенциальных поверхностей, если только потенциал является суммой двух потенциалов, для которых эквипотенциальные поверхности уже построены.

Силовые линии для одиночного силового центра представляют собой прямые, выходящие из этого центра. Если мы хотим указать этими линиями и интенсивность, и направление силы в любой точке, мы должны строить их так, чтобы они выделяли на эквипотенциальных поверхностях участки, по которым интеграл от индукции имеет определённое значение. Для этого лучше всего принять, что наша плоская фигура представляет собой сечение пространственной фигуры, образуемой вращением плоской фигуры вокруг оси, проходящей через центр сил. Любая прямая, выходящая из этого центра и образующая угол с осью, будет при этом описывать конус, и поверхностный интеграл от индукции по той части любой поверхности, которая вырезается этим конусом со стороны, прилегающей к положительному направлению оси, равен 2e(1-cos ).

Если далее принять, что эта поверхность ограничена линиями пересечения с двумя плоскостями, проходящими через ось и наклонёнными друг к другу под углом, стягиваемым дугой, равной половине радиуса, то индукция через ограниченную таким образом поверхность равна

1

2

e(1-cos )=

 и

=arccos(1-2/e)

.

Придавая значения 1, 2, 3 …e мы найдём соответствующую последовательность значений и при целом e число соответствующих силовых линий, считая и ось, будет равно e.

Таким образом, мы имеем метод построения силовых линий, при котором заряд любого силового центра показан числом выходящих из него линий, а индукция через любую поверхность, вырезаемую указанным способом, измеряется числом силовых линий, проходящих через неё. Пунктирные прямые в левой части рис. 5 изображают силовые линии, соответствующие каждому точечному заряду при зарядах 10 и -10 соответственно.

Если на оси рисунка расположены два силовых центра, можно построить силовые линии для каждого центра, соответствующие значениям ₁ и ₂. Проведя затем линии через последовательные точки пересечения этих линий, для которых ₁+₂ имеют одно и то же значение, мы можем найти силовую линию, обусловленную обоими центрами. Таким же способом можно скомбинировать любые две системы силовых линий, симметрично расположенные относительно одной и той же оси. Сплошные кривые в левой части на рис. 5 изображают силовые линии, обусловленные одновременным действием двух заряженных центров.

Построив этим методом эквипотенциальные поверхности и силовые линии, можно проверить точность построения, установив, ортогональны ли всюду обе системы кривых и относятся ли расстояния между соседними эквипотенциальными поверхностями к расстоянию между соседними силовыми линиями как половина среднего расстояния от оси относится к принятой единице длины.

Для любой такой системы конечных размеров силовая линия, индекс которой меньше e, имеет асимптоту, проходящую через электрический центр (п. 89 г) системы и наклонённую к оси под углом, косинус которого равен 1-2/e, где e, - полный заряд системы, если только меньше e. Силовые линии, для которых индекс больше e, являются конечными. Если e равно нулю, то все линии конечны.

Силовые линии, соответствующие однородному полю силы, параллельному оси, представляют собой прямые линии, параллельные этой оси, расстояние которых от оси равно квадратному корню из чисел, образующих арифметическую прогрессию.

Теория эквипотенциальных поверхностей и силовых линий для двух измерений будет дана ниже, когда мы перейдём к теории сопряжённых функций ¹.

¹ См. статью проф. У. Р. Смита «О потоке электричества в проводящих поверхностях» В Proc. R. S. Edin., 1869-70, р. 79.

ГЛАВА VIII

ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ ЭЛЕКТРИЗАЦИИ

Две параллельные плоскости

124. Рассмотрим прежде всего две параллельные проводящие бесконечно простирающиеся плоскости на расстоянии c друг от друга, находящиеся соответственно под потенциалами A и B.

Очевидно, что в этом случае потенциал V будет функцией от расстояния z до плоскости A и будет одинаков для всех точек любой плоскости, параллельной A и B и расположенной между ними, за исключением точек вблизи краёв заряженных поверхностей, которые, по предположению, находятся на бесконечно большом расстоянии от рассматриваемой точки.

Таким образом, уравнение Лапласа сводится к уравнению d^2V/dz^2=0, интеграл которого V=C₁+C₂z, а поскольку V=A при z=0 и V=B при z=c, то V=A+(B-A)z/c.

Для всех точек между плоскостями напряжённость перпендикулярна плоскостям и величина её равна R=(A-B)/c.

В самой толще проводников R=0. Следовательно, распределение электричества на первой плоскости имеет поверхностную плотность , где 4=R=(A-B)/c.

На другой поверхности, на которой потенциал равен B, поверхностная плотность ' равна и противоположна по знаку : 4'=-R=(A-B)/c.

Рассмотрим теперь участок первой поверхности площади S выбранный так, что никакая часть S не находится вблизи границы поверхности.

Количество электричества на этой поверхности e₁S и, согласно п. 79, действующая на единицу электричества сила равна R/2 так что полная сила, действующая на площадку S и притягивающая её к другой плоскости, равна

F

=

1

2

RS

=

1

8

R^2S

S

8

(B-A)^2

c^2

.

Здесь сила притяжения выражена через площадь S, разность потенциалов обеих поверхностей A-B и расстояние между ними c. Через заряд e₁ и площадь S сила притяжения выражается так: F=2e₁^2/S.

Электрическая энергия, обусловленная распределением электричества на площадке S и на соответствующей ей площадке S' поверхности B, определяемой проектированием S на поверхность B системой силовых линий, которые в нашем случае перпендикулярны поверхности, равна