Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Коллектив авторов

ИТЕРАТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СТОРОН И ДИАГОНАЛЕЙ КВАДРАТА

Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата можно доказать чисто геометрически, в том числе и методом доведения до абсурда. Для этого надо применить итеративный алгоритм: исходя из конкретного случая строятся другие, более мелкие фигуры, сохраняющие такие же соотношения. Рассмотрим квадрат ABCD со стороной а=АВ и диагональю d = АС.

Отложим сторону на диагонали. Мы получим отрезок

АВ’. Проведем касательную к полуокружности ВВ', касающуюся ее в точке В она пересечет сторону ВС в точке А'. Соединим В' и А' и получим прямоугольный равнобедренный треугольник СВ'А' и квадрат СВ'А'D'. Мы построили новый квадрат со стороной А'В' = АС - АВ [а' = d - а] и диагональю А'С = ВС - А'В [d' = а - а' ], где АС > А'С и АВ > В'С. Ясно, что если u измеряет одновременно и а = АВ, и d = АС, то будет измерять а' и, следовательно, d'. Мы можем повторить проделанное и получить пары [a, d] > [а', d ] > [а", d"] > [а'", d'"] > ... соизмеримых сторон и диагоналей квадратов. В какой-то момент диагональ или сторона станут меньше единицы измерения и, что невозможно.

ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ

Но возможно ли рассмотреть соотношение несоизмеримых величин? Отвечая на этот вопрос, нельзя не обратиться к наследию гениального Евдокса Книдского, автора идей, содержащихся в V и VI книгах. Начнем анализ книги V с первых четырех определений.

Определение 1. Часть есть величина от величины, меньшая от большей, когда она измеряет большую.

Определение 2. Кратное же — большая от меньшей, когда она измеряется меньшей.

Определение 3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству.

Определение 4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.

В понятиях части и кратности содержится также понятие соизмеримости или делимости. Кратное число — повторение одной и той же величины определенное количество раз. Если у нас есть величина A, a m — произвольное натуральное число, то кратное будет m х A. Оно равно сумме величин A, взятых m раз. Делитель или часть D величины A — это величина «такого же рода», что и A, такая что A кратна D то есть такая, что если взять определенное натуральное число m, то A = m х D. Подразумевается, что мы знаем, в каких случаях величина «больше, равна или меньше другой», и это, как мы увидим, имеет огромное значение.

Зенон и Евдокс были представителями двух совершенно противоположных школ в математике: критически- деструктивной и критически-конструктивной. Оба были проникнуты столь же сильным критицизмом, как и их последователи...

Эрик Белл «Творцы математики»

Существуют объекты, подтверждающие определение, — свойства, которые устанавливаются в постулате или предложении. Это придает определению смысл. Но есть и другие объекты — не подтверждающие определение.

Возникает следующий вопрос: есть ли в «Началах» пары величин, не связанные никаким отношением? Ведь определение не может и не должно устанавливать, что «все величины, взятые кратно, имеют отношение между собой». Архимед не попал в эту ловушку, и в работе «О шаре и цилиндре» (пятое допущение, или постулат Архимеда) мы читаем:

Большая из двух неравных линий, поверхностей или тел превосходит меньшую на такую величину, которая, будучи складываема сама с собой, может превзойти любую заданную величину из тех, которые могут друг с другом находиться в определенном отношении.

ЕВДОКС КНИДСКИЙ

Древнегреческий математик и астроном Евдокс (ок. 408-355 до н.э.) родился и умер в Книде. Он был сыном Эсхина и учеником Платона, происходил из семьи медиков и также несколько лет занимался медициной. В возрасте 23 лет Евдокс уехал в Афины и поступил в Академию Платона, где изучал философию. Несколько лет спустя он узнал об астрономических исследованиях, проводимых в то время в Египте. Питая огромный интерес к этой дисциплине, Евдокс решил переехать в Гелиополь. Благодаря поддержке и покровительству царя Агесилая у него был доступ к результатам исследований и теориям священнослужителей города. Вернувшись в Грецию, Евдокс основал собственную школу философии, астрономии и математики. Впоследствии он написал свою первую книгу «Явления», в которой рассматривал восходы и закаты звезд. Его геометрия (в частности, теория отношений и метод исчерпывания) оказала большое влияние на Евклида.

Теория отношений была самым древним решением проблемы иррациональных чисел, а метод исчерпывания позволил ему решать задачи нахождения площадей и объемов, напримерплощади круга, пропорциональной квадрату его диаметра, и объема пирамиды, который равен трети призмы с таким же основанием и такой же высотой. Большой интерес представляют определения 3 и 4. Выражение «некоторая зависимость» не имеет смысла. К тому же Евклид пишет об отношении по количеству, которого в случае несоизмеримости не существует. Четвертое определение заслуживает более пристального анализа:

Величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 

Это определение устанавливает, при каких условиях две величины «имеют отношение между собой»; если они не выполнены, между ними не будет отношения. Сравним это определение со следующими.

Утверждение

Определение

Две прямые параллельны друг другу,

если они, продленные бесконечно, не встречаются.

Одна прямая перпендикулярна другой,

если при их пересечении образуются прямые углы.

Две величины имеют отношение между собой,

если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.

Число является простым,

если измеряется только единицей.