Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Строгац Стивен

Шрифт:

Умение приводить доказательства уже давно считается одним из ключевых для общего образования. И, по мнению некоторых, более существенным, чем сама геометрия. Хотя никто толком не понимает, как научиться их формулировать. Согласно этой точке зрения, геометрия хороша для развития умственных способностей, поскольку обучает нас думать четко и логично. Сюда не относится изучение треугольника, круга и параллельных линий как таковых. Важно само применение аксиоматического метода, представляющего собой процесс пошагового создания строгих аргументов до получения подтверждения искомого вывода.

Евклид47 установил этот дедуктивный подход в своих «Началах» (в настоящее время наиболее часто перепечатываемый учебник всех времен) около 2300 лет назад. С тех пор евклидова геометрия стала моделью логического

мышления во всех сферах жизни — от науки и философии до права и политики. Например, Исаак Ньютон применил метод Евклида в структуре своего шедевра «Математические начала натуральной философии». Используя геометрические доказательства, он вывел законы Галилея и Кеплера о движении летящих предметов и планет на основе их собственных глубинных законов движения и гравитации. «Этика» Спинозы[16] следует той же схеме. Полное название книги «Этика, доказанная в геометрическом порядке» (Ethica Ordine Geometrico Demonstrata). Вы можете услышать отголоски Евклида даже в Декларации независимости. Когда Томас Джефферсон48 писал: «Мы считаем эти истины самоочевидными», он имитировал стиль «Начал» Евклида. Древнегреческий математик начал с определений, постулатов и самоочевидных истин геометрии, аксиом, и из них воздвиг здание утверждений и доказательств, где истины связаны между собой посредством неопровержимой логики. Джефферсон построил Декларацию аналогичным образом: его радикальные выводы о том, что колонии имеют право на самоуправление, казались неотвратимыми, как факт геометрии.

Даже если этот документ с некоторой натяжкой можно воспринимать как часть интеллектуального наследия, имейте все же в виду, что Джефферсон читал Евклида. Через несколько лет после окончания второго президентского срока он отошел от общественной жизни и писал об этом своему старому другу Джону Адамсу 12 января 1812 года: «Я отказался от газет в обмен на Тацита и Фукидида, Ньютона и Евклида, и считаю себя гораздо счастливее».

Однако всем поклонникам рациональности Евклида не хватает понимания интуитивных аспектов геометрии. Без вдохновения не было бы никаких доказательств или теорем, которые следует доказать в первую очередь. Как и при сочинении музыки или стихов, в геометрии требуется получить что-то из ничего. Как поэту найти нужные слова или композитору — западающую в память мелодию? Это тайна музыки; своя тайна присуща и математике.

В качестве иллюстрации рассмотрим задачу построения равностороннего треугольника. Правила игры заключаются в том, что вам дают одну сторону треугольника (отрезок), как показано на рисунке:

Ваша задача — найти способ использовать этот отрезок для построения двух других сторон и доказать, что у них такая же длина, как и у первой. Причем в вашем распоряжении только поверочная линейка и циркуль. Линейка позволяет начертить прямую линию любой длины или соединить прямой линией две любые точки. Циркуль помогает нарисовать окружность любого радиуса с центром в любой точке.

Однако имейте в виду, что это не обычная линейка: на ней нет делений и ее нельзя использовать для измерения длины. (Другими словами, она не подходит для копирования или измерения исходного отрезка.) Циркулем нельзя измерять углы, а можно только строить окружности.

Готовы? Поехали!

Вы в ступоре. С чего начать?

Логика здесь не поможет. Те, кому приходится часто принимать решения, знают, что в такой ситуации лучше всего расслабиться и попробовать разгадать головоломку в надежде, что что-нибудь придет в голову. Например, с помощью поверочной линейки попробовать через концы отрезка провести наклонные линии.

Не повезло. Хотя линии образуют треугольник, нет никакой гарантии, что он равносторонний.

Пытаемся провести несколько окружностей с помощью циркуля и опять попадаем пальцем в небо. Где выбрать центр окружности? В конечных точках отрезка?

Или

в какой-то его внутренней точке?

Второй вариант выглядит совершенно бесперспективным, поэтому нет смысла перебирать все внутренние точки отрезка одну за другой. Так что давайте вернемся к построению окружности вокруг конечных точек.

К сожалению, здесь много неопределенности. Какими должны быть радиусы окружностей? Что ж, пока мы ничего не смогли придумать.

Спустя несколько минут бесполезных размышлений вы, окончательно расстроившись, готовы сдаться. Но если мы все-таки устоим перед соблазном и продолжим, то нам, возможно, повезет, и мы поймем, что нужно построить всего одну окружность. Давайте посмотрим, что произойдет, если поставить иголку циркуля на один конец отрезка, карандаш на другой, а потом сделать циркулем полный оборот. Выйдет следующее:

Конечно, если бы мы использовали в качестве центра окружности другую конечную точку, то получили бы другое изображение:

Как насчет того, чтобы одновременно нарисовать обе окружности без причины, просто ради интереса?

Вас словно током ударило? Вы даже задрожали от предвкушения? Взгляните еще раз на рисунок. Оттуда на нас «уставилось» соблазнительно округлое изображение равностороннего треугольника. Его верхний угол — точка пересечения окружностей.

А теперь давайте превратим его в обычный прямосторонний треугольник, проведя линии через точку пересечения и конечные точки исходного треугольника. В результате треугольник выглядит точно так же, как равносторонний.

Мы позволили интуиции завести нас так далеко, что теперь и только теперь наступило время логике взяться за доказательство и завершить его. Для наглядности сделаем панорамную съемку полного изображения и промаркируем интересующие нас точки как A, B и C.

А вот и само доказательство. У сторон АС и ВС такая же длина, как и у исходного отрезка АВ, поскольку радиусы обеих окружностей равны длине отрезка AB. АС и ВС — радиусы окружностей, имеющие такую же длину. Следовательно, все три длины равны и треугольник является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Идея с радиусами окружностей существует уже много столетий. Действительно, она открывает первую книгу евклидовых «Начал». Но укоренившаяся тенденция предлагать ученикам уже готовую окончательную схему с хитрыми окружностями лишает их радости открытия. Это педагогическая ошибка. Такой подход настраивает молодого человека на то, что идея очевидна. А ведь она может стать озарением для каждого нового поколения, если учить его правильно.

Поделиться:
Популярные книги

Газлайтер. Том 5

Володин Григорий
5. История Телепата
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Газлайтер. Том 5

Мастер...

Чащин Валерий
1. Мастер
Фантастика:
героическая фантастика
попаданцы
аниме
6.50
рейтинг книги
Мастер...

Оживший камень

Кас Маркус
1. Артефактор
Фантастика:
городское фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Оживший камень

Архонт

Прокофьев Роман Юрьевич
5. Стеллар
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
7.80
рейтинг книги
Архонт

Идеальный мир для Лекаря 18

Сапфир Олег
18. Лекарь
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 18

Возвращение

Жгулёв Пётр Николаевич
5. Real-Rpg
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
альтернативная история
6.80
рейтинг книги
Возвращение

Золушка вне правил

Шах Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
6.83
рейтинг книги
Золушка вне правил

Para bellum

Ланцов Михаил Алексеевич
4. Фрунзе
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.60
рейтинг книги
Para bellum

Жандарм

Семин Никита
1. Жандарм
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
аниме
4.11
рейтинг книги
Жандарм

Провинциал. Книга 2

Лопарев Игорь Викторович
2. Провинциал
Фантастика:
космическая фантастика
рпг
аниме
5.00
рейтинг книги
Провинциал. Книга 2

Совок

Агарев Вадим
1. Совок
Фантастика:
фэнтези
детективная фантастика
попаданцы
8.13
рейтинг книги
Совок

ВоенТур 3

АЗК
3. Антиблицкриг
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
5.00
рейтинг книги
ВоенТур 3

Младший сын князя

Ткачев Андрей Сергеевич
1. Аналитик
Фантастика:
фэнтези
городское фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Младший сын князя

Новые горизонты

Лисина Александра
5. Гибрид
Фантастика:
попаданцы
технофэнтези
аниме
сказочная фантастика
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Новые горизонты