В погоне за красотой
Шрифт:
Вне всяких сомнений, обратную теорему о параллельных прямых пробовали доказать до Евклида, и пробовали не раз. И думаю, ко времени Евклида было ясно — есть два решения:
1. Доказать обратную теорему о параллельных на основе остальных постулатов геометрии. При этом по условиям игры никаких новых добавочных постулатов вводить не разрешается.
Сторонники этой школы должны были полагать, что «обратная теорема о параллельных» не более чем сложная теорема и непременно следует из остальных постулатов.
2. Можно к нашим четырем постулатам добавить еще какой-нибудь такой, что обратная теорема о параллельных
Трудно поверить, что предшественники и современники Евклида — блестящие геометры эпохи расцвета науки — не могли додуматься до целого семейства эквивалентных и «очевидных» формулировок пятого постулата. Поверить в это трудно прежде всего потому, что некоторые из них напрашиваются сами.
На первом пути, естественно, успехов не было достигнуто ни тогда, ни еще две тысячи лет после Евклида. Сейчас-то благодаря Лобачевскому мы знаем: успеха и не могло быть. Но… это мы знаем сейчас.
Тем привлекательней должна была выглядеть вторая возможность: предложить эквивалентный, но простой и естественный постулат — смазать, затушевать неприятное пятно и успокоиться.
Масса комментаторов Евклида, возившихся с пятым постулатом, явно либо неявно действовала именно так.
Невозможно предположить, чтобы столь крупный математик, как Евклид, серьезно занимавшийся проблемой пятого постулата (а то, что он уделял ей особое внимание, доказывает весь строй первой книги «Начал»), невозможно предположить — настаиваю я, — что он не набрел по пути на несколько эквивалентных и довольно естественных формулировок пятого постулата. Например, если объединить прямую теорему о параллельных и пятый постулат в Евклидовой форме, то немедленно следует:
Новая формулировка пятого постулата. Через точку С, лежащую вне прямой АВ в плоскости АВС, можно провести только одну прямую, не встречающую прямую АВ.
Обычно эту формулировку приписывают английскому математику XVIII столетия Плейферу, но, естественно, ее предлагали многие и многие комментаторы Евклида за много столетий до Плейфера.
Не правда ли, «аксиома Плейфера» выглядит куда естественней и привлекательней, чем постулат Евклида?
Еще одна формулировка. Ее обычно приписывают Лежандру, хотя и ее использовали много раньше и европейские и восточные геометры.
Постулат Лежандра. Перпендикуляр и наклонная к общей секущей АВ, расположенные в одной плоскости, непременно пересекаются. (Естественно, с той стороны секущей АВ, где наклонная образует с секущей острый угол.)
Тоже весьма наглядное утверждение. Вместо постулата Евклида тут постулируется один его частный случай. Легко увидеть, что этого вполне достаточно, чтобы доказать пятый постулат в евклидовой форме (обратную теорему о параллельных). Впрочем, для тех, кто только знакомится с геометрией, это достойная и довольно сложная задача, вполне заслуживающая внимания. Я приведу здесь некоторые указания, предоставляя желающим довести дело до конца.
Те, у кого это предложение не вызывает энтузиазма, могут спокойно пропустить всю математику. А мы примем постулат Лежандра — перпендикуляр и наклонная к общей секущей пересекаются — и будем доказывать постулат V в форме Евклида — обратную теорему о параллельных прямых.
Докажем
Пусть при пересечении двух прямых I и II третьей оказалось, что <А < /2, а сумма <А + <С1 = . Тогда согласно «прямой теореме» мы знаем, что эти прямые не пересекаются — они параллельны.
Просмотрите снова доказательство «прямой теоремы».
Из точки С опустим перпендикуляр на прямую I.
Это всегда можно сделать. Соответствующая теорема была доказана без всякого участия понятий о параллельных.
Докажите, что при принятом условии (<А < /2) перпендикуляр СВ будет расположен так, как показано на чертеже.
Доказывайте от противного и используйте теорему о внешнем угле треугольника.
Далее имеем: <D + <N = <C1, Буква N выбрана, чтобы напоминать о слове «неизвестный».
Затем имеем: <A + <D + <N = .
(Вспомните условие!)
Рассмотрите теперь АВС.
Для суммы его углов есть три возможности.
<A + <D + /2 >< ;
Обратите внимание! Нельзя пользоваться теоремой: сумма углов треугольника равна . Эта теорема — следствие постулата о параллельных.
Рассмотрите сначала гипотезу: <A + <D + /2 > .
Сравните это неравенство с равенством <A + <D + <N = и получите: <N < /2.
Использовав теперь постулат Лежандра, вы получите, что прямые I и II пересекаются справа от точки В. А это противоречит условию. Следовательно, гипотеза ошибочна.
Рассмотрите теперь гипотезу <A + <D + <N < .
Совершенно аналогично покажите, что в этом случае прямые I и II пересекутся слева от точки В; отбросьте и эту гипотезу.
Вы доказали сразу две важные теоремы:
1. Сумма углов АВС равна ;
2. Угол N равен 90°.