В погоне за красотой
Шрифт:
Вероятно, мы бы знали и об Евклиде. Но, к сожалению, на сей день едва ли не самый основательный источник по Евклиду — Прокл Диадох Константинопольский — геометр, написавший детальнейший «Комментарий на первую книгу «Начал». И раз уж мы все время ссылаемся на источники, необходимо маленькое замечание.
Когда мы обращаемся к истории древнего мира, то невольно возникает тот же эффект, что при наблюдении горной цепи с самолета. Все сглаживается, расстояния кажутся малыми, детали исчезают полностью. Видна лишь общая картина.
И невольно все греческие математики представляются почти современниками. Поэтому нелишне,
Есть еще один автор, живший несколькими десятилетиями раньше Прокла, — александрийский математик Паппус. Он пишет о Евклиде как о мягком, скромном и вместе с тем независимом человеке. История с Птолемеем приводится как одним, так и другим. «Точные» же биографические данные практически основываются на заметках неизвестного арабского математика XII века: «Евклид, сын Наукрата, сына Зенарха, известный под именем Геометра, ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…»
Все.
Человек бесследно растворился в веках. Осталась его работа.
«Начала» — повторимся — книга уникальная. Более двух тысяч лет она была главным и практически единственным руководством по геометрии для ученых как западного, так и восточного мира. Еще в конце XIX столетия во многих английских школах геометрию изучали по адаптированному изданию «Начал», и вряд ли можно найти более выразительное свидетельство популярности. В этом смысле конкурировать с «Началами геометрии» могут разве что библия и евангелие. Но в отличие от последних основа «Начал» — строгая и жесткая логика. Точнее — Евклид все время стремится к таковой.
Можно полагать, что Евклид был последователь Платона и Аристотеля. А Платон, как помните, требовал строго дедуктивного построения математики.
В фундаменте — аксиомы: основные положения, принимаемые без доказательства, а далее все должно быть безупречно логично выведено из этих аксиом.
Этот идеал и пытается осуществить Евклид. Пытается, потому что с современных позиций буквально вся его аксиоматика неудовлетворительна.
Но это легко заявлять сейчас, после 25-столетних исследований. А в свое время логика Евклида оставляла совершенно подавляющее впечатление.
Попытки рассказать геометрию на базе аксиоматического метода были до Евклида. И не плохие. Но уверенно можно заключить, что работа Евклида была наиболее удачной. Свидетельство — необычная популярность его книги уже в древнем мире; популярность, благодаря которой она дошла и до нас.
Можно говорить всякие обидные (и справедливые) слова в адрес аксиоматики Евклида. Но то, что сама схема стала с тех пор канонической для построения любого раздела математики, забывать не стоит. И конечно, необходимо помнить, что «Начала» блестяще написаны, написаны мастером своего дела, тонким ученым и великолепным педагогом. Поэтому поголовное поклонение математиков Евклиду и его «Началам» и понятно и оправданно. Добавим еще, что
Влияние Евклида было поразительно во все века, во всех краях света. Вот, например, в каких супер-восхищенных тонах говорил об Евклиде один из виднейших математиков эпохи Возрождения, Кардан. Сам-то Кардан, кстати, был отчаянный авантюрист, чтобы не сказать проходимец, но математического таланта и культуры у него не отнимешь. Он пишет о «Началах»:
«Неоспоримая крепость их догматов и их совершенство настолько абсолютны, что никакое другое сочинение, по справедливости, нельзя с ними сравнить. Вследствие этого в них отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот способен отличать в сложных вопросах геометрии истинное от ложного, кто усвоил Евклида».
А вот слова одного крупного английского геометра. Это уже середина XIX века.
«Никогда не было системы геометрии, которая в существенных чертах отличалась бы от плана Евклида; и до тех пор, пока я не увижу этого собственными глазами, я не поверю, что такая система может существовать».
Надо, правда, сказать, что в середине XIX столетия автор мог бы мыслить более прогрессивно, и слова эти, помимо преклонения перед Евклидом, демонстрируют его собственную изрядную консервативность.
Можно приводить сколько угодно подобных цитат, но мы ограничимся эффектной концовкой. Может быть, самое яркое свидетельство влияния «Начал» буквально на все области мышления то, что один из известных в истории западного мира философов, Бенедикт Спиноза, весь план своего основного сочинения «Этика» целиком заимствовал у Евклида.
Возможно, авторитет Спинозы не слишком убеждает читателей, и поэтому для истинного финала своего воспевания «Начал» я приберег Исаака Ньютона.
Его основополагающая работа «Начала натуральной философии» копирует Евклида не только по заглавию, но и по схеме. В основе — аксиомы, из которых следует все. Сходство и в том, что аксиоматика Ньютона оказалась столь же эфемерна, как и Евклида.
И последняя справка. К 1880 году насчитывалось 460 изданий «Начал».
Вероятно, прежде чем идти дальше, необходимо несколько слов сказать о самом аксиоматическом методе.
Совершенно ясное и строгое понимание дедуктивных схем пришло лишь в начале XX столетия. В основном это заслуга великого немецкого математика Гильберта.
В несколько огрубленной и упрощенной форме дело обстоит примерно так. Мы ограничимся дальше конкретным случаем геометрии, чтобы не слишком увлекаться абстракциями.
Этап № 1. Перечисление Основных Понятий.
Фундамент — Основные Понятия (либо Основные Элементы). Они — результат длительного экспериментального изучения природы, сложного, путаного, туманного и т. д. и т. д. пути.
В итоге, как некое абстрактное отражение реальности, возникают Основные Понятия. О них в аксиоматике не говорится ничего. Они как бы даны свыше.
Это естественно. Определять Основные Понятия можно лишь при помощи других новых понятий, те, в свою очередь, при помощи… и так далее до бесконечности. Надо же с чего-то начинать. Как говорят французы: «Чтобы сварить рагу из кролика, необходимо поймать хотя бы кошку».