В погоне за красотой

Смилга Вольдемар Петрович

Следует пятый постулат.

Глава 3

Пятый постулат

Вот он, постулат V.

Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d (180°), то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.

Чего стоит одна формулировка! Во-первых, масса слов. Во-вторых, сколько геометрических понятий! Человек, незнакомый с основами геометрии,

вообще ничего не поймет. Постулат совершенно не похож на предыдущие. Он звучит как теорема. И не слишком простая. Он явно выглядит странно. И прежде чем мы пойдем дальше, позвольте преклониться перед Евклидом.

Хотя у меня, естественно, нет доказательств, я убежден: пятый постулат сознательно сформулирован в столь нехорошей форме. И в этом таится великая мудрость «творца «Начал».

Из всех возможных формулировок пятого постулата Евклид выбрал наисложнейшую, наинеуклюжейшую. Почему? Чтобы ответить, посмотрим, как он строит геометрию.

После аксиом и постулатов Евклид, естественно, доказывает теоремы. И 28 первых теорем он доказывает, игнорируя пятый постулат. Для этих теорем он не нужен. Они — эти «28» — безразличны к пятому постулату. Они, как говорят, относятся к абсолютной геометрии.

Среди «28» есть и теорема о внешнем угле треугольника. У Евклида она идет за № 16. Заключают список, как, вероятно, догадались проницательные читатели, теоремы № 27 и № 28. Эти теоремы содержат так называемую «прямую теорию» параллельных линий. Докажем их, объединив в одну.

Пусть две прямые пересекаются третьей в точках Р и Р₁.

Утверждается: если <А = <A₁, прямые параллельны.

Доказываем от противного. Допустим сначала, что прямые пересеклись в точке C. Тогда возник РР₁С, у которого внешний <A₁ равен внутреннему, не смежному с ним <А. Но это невозможно. Теорема — «Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним» — не допускает этого! Следовательно, прямые не могут пересечься при продолжении направо.

Есть вторая возможность. Прямые пересеклись в точке C₁. Тогда возникает РР₁С₁. Для него — <B внешний, а <B₁ — внутренний, не смежный с <B.

Но <B = <A; <B₁ = <A₁ как вертикальные.

Однако <A = <A₁ — это дано в условии; значит, <B = <B₁.

И по существу, все закончено.

Для гипотетического треугольника РР₁С₁ <В внешний, а <B₁ —

внутренний, не смежный с ним. И они равны. Но этого не может быть. Значит, РР₁С₁ существовать не может. И значит, прямые не пересекаются и в точке С₁.

Теорема доказана полностью.

Конечно, читателям ясно, что В и В₁ были введены, чтобы для гипотетического РР₁С₁ полностью скопировать ситуацию, которая сразу возникла для РР₁С (для первого треугольника).

Теперь, чтобы полностью повторить Евклида, введем в наш рисунок еще четыре угла. Какие — видно на чертеже.

Из равенства <A = <A₁ немедленно следует целое семейство равенств.

1. <B = <A₁; <C = <D₁ — эти углы называются «внешними накрест лежащими».

2. <А = <B₁; <D = <С₁ — это «внутренние накрест лежащие».

3. <D = <D₁; <C = <С₁; <B = <B₁; и, само собой, <A = <A₁. Все эти углы называются соответственными.

<D + <B₁ = ;

<А + <С₁ = ;

<С + <А₁ = ;

<B + <D₁ = .

Здесь выступают внутренние и внешние односторонние углы.

Подчиняясь общепринятому порядку, я привел все эти двенадцать равенств и несколько сожалею об этом. Обилие равенств может затуманить ясный вопрос. А вообще достаточно любого соотношения. Любого — на выбор. Одиннадцать остальных сразу получаются, если справедливо хоть одно. Мы «танцевали» от равенства <A = <A₁. Можно было идти от любого другого.

Мы доказали, что, если выполняется любое из наших двенадцати равенств, прямые параллельны. Это и есть две теоремы Евклида: № 27 и № 28.

Кстати, теперь уместно вспомнить, что теорема о параллельности двух перпендикуляров к общей прямой — первая теорема, доказанная в этой книге, — есть частный случай нашей теоремы о параллельных.

Доказав теорему, геометр всегда исследует обратную теорему. В обратной теореме данным считается то, что доказывалось в прямой, а доказывается, естественно, то, что в прямой считалось данным.