Великая Теорема Ферма
Шрифт:
На стыке XIX и XX веков, благодаря поклонникам Сэма Лойда и его головоломки «15–14», миллионы любителей решать головоломки в Европе и Америке жаждали новых трудных задач. Когда весть о наследстве Вольфскеля дошла до этих начинающих математиков, великая теорема Ферма снова стала самой знаменитой математической проблемой в мире. Великая теорема Ферма была бесконечно более сложной, чем самая трудная из головоломок Лойда, но и приз был несравненно больше.
Любители мечтали о том, что им, возможно, удастся найти сравнительно простой трюк, который ускользнул от внимания великих математиков прошлого. Когда речь заходила о знании математических приемов и методов, преисполненный рвением любитель, живущий в XX веке, во многом не уступал Пьеру де Ферма. Трудность была в другом — в отсутствии изобретательности, с которой Ферма пользовался известными ему приемами и методами.
Через несколько недель после объявления конкурса на соискание премии Вольфскеля на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Не удивительно, что все они до одного оказались ошибочными. И хотя каждый из участников
Независимо от того, кто был отправителем того или иного доказательства, каждое из них скрупулезно изучалось на тот случай, если неизвестному любителю все же удастся найти столь давно разыскиваемое доказательство. Деканом математического факультета Гёттингенского университета с 1909 по 1934 годы был профессор Эдмунд Ландау. Именно на него легла обязанность разбирать все доказательства, присланные на соискание премии Вольфскеля.
Ландау был вынужден то и дело прерывать свои собственные исследования, поскольку ему нужно было разбирать десятки ошибочных доказательств, поступавших к нему на стол каждый месяц. Чтобы справиться с ситуацией, профессор Ландау изобрел изящный метод, позволивший избавиться от докучливой работы. Профессор попросил напечатать несколько сотен карточек, на которых значилось:
Уважаемый(ая) . . . . . . . .
Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр … в строке … Из-за нее все доказательство утрачивает силу.
Профессор Э.М. Ландау
Каждое из полученных доказательств вместе с отпечатанной карточкой Ландау вручал одному из своих студентов и просил его заполнить пробелы.
Доказательства продолжали поступать непрерывным потоком в течение нескольких лет даже после того, как премия Вольфскеля катастрофически обесценилась из-за гиперинфляции после первой мировой войны. Говорят, что тот, кто выиграл бы конкурс сегодня, вряд ли смог бы купить на премию чашку кофе, — но такие утверждения несколько преувеличены. Как пояснил д-р Ф. Шлихтинг, ответственный за рассмотрение доказательств в 70-х годах, премия Вольфскеля ныне составляет более 10000 марок. Уникальная возможность составить представление о работе Комиссии Вольфскеля дает письмо д-ра Ф. Шлихтинга Паулю Рибенбойму, приведенное в книге Ф. Шлихтинга «Тринадцать лекций о Великой теореме Ферма».
«Уважаемый сэр!
Общее число представленных к настоящему времени «решений» неизвестно. В первый год (1907–1908 гг.) в анналах Академии было зарегистрировано 621 решение. В настоящее время в Академии хранятся стопка бумаг, толщиной около трех метров, с материалами переписки по проблеме Ферма. В последние десятилетия работа с письмами производилась следующим образом. Секретарь Академии делил поступающие рукописи по следующим категориям: 1) полная чепуха, которая немедленно отсылалась обратно; 2) материал, который по крайней мере внешне походил на математику.
Вторая часть корреспонденции передавалась математическому факультету, где работа по прочтению рукописей, нахождению ошибок и ответу авторам поручалась одному из ассистентов (в немецких университетах это люди, окончившие полный курс университета и работающие над диссертацией на соискание ученой степени «доктора философии» — Ph.D.). Сейчас очередная жертва — это я. Каждый месяц поступают 3–4 письма, на которые я должен отвечать. В этих письмах масса интересного и любопытного материала. Например, один из корреспондентов прислал половину доказательства и пообещал прислать вторую, если мы выплатим 1000 марок авансом. Другой корреспондент пообещал мне 1% от своих доходов от своих публикаций, интервью на радио и телевидении, когда он станет знаменитым, если только я окажу ему сейчас поддержку. В противном случае он угрожал послать свое доказательство в адрес математического факультета какого-нибудь российского университета и тем самым лишить нас славы его открывателей. Время от времени кто-нибудь из авторов «доказательств» наведывается в Гёттинген и настаивает на личной встрече и обсуждении.
Почти все «доказательства» написаны на самом элементарном уровне (и используют обозначения, заимствованные из высшей математики и, быть может, некоторых плохо усвоенных работ по теории чисел). Тем не менее понять их очень трудно. В социальном плане отправители нередко оказываются людьми с техническим образованием, но с несложившейся карьерой, которые пытаются теперь достичь успеха с помощью доказательства Великой теоремы Ферма. Некоторые рукописи я передал психиатрам, и те диагностировали тяжелую шизофрению.
Одно из условий в завещании Вольфскеля состояло в том, что Академия была должна ежегодно печатать извещение о конкурсе на соискание премии в главных математических журналах. Но уже через несколько первых лет журналы отказались печатать уведомление о конкурсе потому, что редакции оказались заваленными письмами и сумасшедшими рукописями. Надеюсь, что эта информация представит для Вас некоторый интерес.
Искренне Ваш Ф. Шлихтинг»
Как упоминает д-р Шлихтинг, участники конкурса не ограничивались тем, что присылали свои «доказательства» в Академию. Вряд ли во всем мире найдется хотя бы один математический факультет, где бы ни стоял шкаф, набитый поступившими от любителей «доказательствами». Большинство университетов попросту оставляет такие любительские доказательства без внимания и ответа, но некоторые университеты прибегали к более изобретательным способам, позволявшим отделаться от назойливых корреспондентов. [9] Известный американский популяризатор науки Мартин Гарднер вспоминает об одном своем знакомом, имевшим обыкновение возвращать пришедшие в его адрес рукописи с запиской, в которой извещал отправителя, что недостаточно компетентен для того, чтобы вникнуть в детали доказательства, и сообщал имя и адрес эксперта, который мог бы разобраться в деталях доказательства, т. е. по существу предлагал любителю обратиться к несчастному эксперту. Другой приятель Мартина Гарднера отвечал авторам присланных доказательств так: «У меня есть замечательное опровержение присланного Вами доказательства, но, к сожалению, эта страница недостаточно велика, чтобы вместить его».
9
Сам бы мог привести пару историй с «ферматистами», которые в своё время услышал от зав. кафедрой алгебры нашего местного университета. Но не веселы они: в сущности, эти «ферматисты» — несчастные люди. И на ICM'98 в Берлине, где Эндрю Уайлс получал Филдсовскую премию, на секции алгебры видел доклады типа "А вот ещё одно доказательство Великой теоремы Ферма". Лучше расскажу про одну из "увёрток от ферматистов", которую где-то вычитал. Учёный секретарь одного из московских академических институтов, не избежавшего нашествия ферматистов, однажды был в отпуске в Молдавии и на рынке купил какую-то снедь, которую ему завернули в местную газету. Вернувшись с рынка, он стал просматривать этот листок и наткнулся на заметку, в которой сообщалось, что местный школьный учитель доказал теорему Ферма, и, как следствие, пелись всякие дифирамбы высокому уровню областной науки. Учёный секретарь вырезал эту заметку, а по возвращении в Москву вставил её в рамку и повесил на стену своего кабинета. Теперь, когда на него «нападал» очередной ферматист, он широким жестом приглашал того ознакомиться с "текущим положением дел". Жизнь явно стала легче. :) — E.G.A.
Хотя математики-любители всего мира на протяжении XX века пытались найти доказательство Великой теоремы Ферма и терпели одну неудачу за другой в попытках завоевать премию Вольфскеля, математики-профессионалы в основном продолжали игнорировать эту проблему. Вместо того, чтобы опираться в своих исследованиях на труды Куммера и других специалистов по теории чисел, математики обратились у изучению оснований своей науки, чтобы сосредоточить внимание на самых фундаментальных вопросах о числах. Некоторые из величайших фигур XX века — в том числе Бертран Рассел, Давид Гильберт и Курт Гёдель пытались разобраться в наиболее глубоких свойствах чисел, чтобы постичь их истинное значение и установить, какие проблемы теории чисел разрешимы, а какие — что гораздо важнее — неразрешимы. Их работы потрясли основания математики и эхом отозвались на судьбах Великой теоремы Ферма. [10]
10
Это не совсем верно. Развивая идеи Куммера, именно в это или близкое время Д. Гильберт, Э. Нётер, Б. Л. Ван дер Варден и другие, придали алгебре и теории чисел современный облик.
Основания знания
На протяжении веков математики занимались тем, что с помощью логического доказательства пытались построить мост, ведущий от известного в неизвестное. Им удалось достичь феноменальных успехов. Каждое новое поколение математиков расширяло грандиозное здание своей науки, создавая новые представления о числах и фигурах. Но к концу XIX века вместо того, чтобы смотреть вперед, некоторые математики стали все чаще оглядываться назад, на основания математики, на которых зиждилось все остальное. Они хотели пересмотреть самые основания математики для того, чтобы заново построить ее, соблюдая все требования математической строгости, начиная с первых принципов, чтобы еще раз убедиться в надежности этих самых первых принципов.
Математики известны своей придирчивостью. Прежде чем принять любое утверждение, они требуют абсолютного доказательства его истинности. Их репутация отчетливо выражена в истории, которую Ян Стюарт приводит в своей книге «Понятия современной математики»: «Рассказывают, что астроном, физик и математик проводили отпуск в Шотландии. Глядя из окна поезда, они заметили посреди поля черную овцу. «Как интересно, — заметил астроном, — все шотландские овцы черные!» «Нет, нет! — возразил физик. — Некоторые шотландские овцы черные!» Математик задумчиво посмотрел вверх, а затем протянул: «В Шотландии есть по крайнее мере одно поле, посреди которого пасется по крайней мере одна овца, у которой по крайней мере одна сторона черная».
Еще строже, чем обычный математик, рассуждает тот математик, который специализируется в области математической логики. Математические логики ставят под сомнение даже те идеи, которые другие математики столетиями считали незыблемыми. Например, закон трихотомии утверждает, что каждое целое число либо отрицательно, либо положительно, либо равно нулю. Это утверждение казалось очевидным, и математики всегда молчаливо предполагали, что оно истинно, но никто никогда не потрудился проверить, так ли это. Логики поняли, что до тех пор, пока истинность закона трихотомии не доказана, его утверждение может оказаться ложным, а если оно окажется ложным, то рухнет все опирающееся на него здание знаний. К счастью для математики, истинность закона трихотомии была доказана в конце XIX века.