Великая Теорема Ферма
Шрифт:
Парадокс Рассела часто объясняют на примере истории о дотошном библиотекаре. Однажды, проходя между книжных полок, этот библиотекарь набрел на подборку каталогов. Там были отдельные каталоги художественной прозы, библиографических указателей, поэзии и т. д. Библиотекарь отметил, что в одних каталогах имелись ссылки на самих себя, тогда как в других таких ссылок не было.
Чтобы упростить систему регистрации книг, библиотекарь решил составить два новых каталога. В один из них он хотел включить все каталоги, содержащие ссылки на самих себя, а в другой — все каталоги, не содержащие ссылки на самих себя. По завершении работы перед библиотекарем встала проблема: нужно ли включать в каталог всех каталогов, не содержащих ссылку на самих себя, его самого? Если его включить, то нарушится условие составления этого каталога. Однако, по тому же условию, он должен быть включен. Наш библиотекарь оказался в безвыходной ситуации. Каталоги в рассмотренном нами
Многие мыслители скептически отнеслись к работе Рассела, ссылаясь на то, что развитие математики до того происходило вполне успешно и не встречало каких-либо парадоксов. Отвечая на критику, Рассел следующим образом объяснял значение своей работы.
«Но, можете Вы возразить, ничто не поколеблет Вашего убеждения в том, что дважды два равно четыре. Вы совершенно правы — за исключением незначительных частных случаев. Два должно быть двумя чего-то, и утверждение "дважды два равно четырем" бесполезно, если его невозможно применить к чему-либо. Две собаки и две собаки, разумеется, это четыре собаки. Но могут представиться случаи, когда Вы усомнитесь в том, являются ли эти два животных собаками. "Во всяком случае, животных четверо", — могли бы возразить Вы. Но существуют микроорганизмы, относительно которых трудно сказать, животные они или растения. "Прекрасно, — возразите Вы, — пусть будут не животные, а живые организмы". Но есть такие объекты, относительно которых трудно сказать, живые они или нет. Вам не останется ничего другого, как сказать: "Две сущности и две сущности равны четырем сущностям". Если Вы объясните мне, что Вы понимаете под «сущностью», то спор можно будет считать законченным».
Работа Рассела повергла основания математической логики в состояние хаоса. Логики чувствовали, что парадокс, скрывающийся в недрах математики, рано или поздно высунет свою голову и вызовет большие проблемы. Вместе с Гильбертом и другими логиками Рассел предпринял попытку исправить ситуацию и восстановить пошатнувшееся здоровье математики.
Открывшееся противоречие было прямым следствием работы с аксиомами, которые до того предполагались самоочевидными и достаточными для построения остальной математики. Один из выходов заключался в создании дополнительной аксиомы, которая запрещала бы любому множеству быть членом самого себя. Такая аксиома позволила бы одолеть парадокс Рассела, поскольку устраняла бы вопрос о том, включать или не включать в каталог каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, сам каталог каталогов.
Следующее десятилетие Рассел занимался анализом того, что составляет самую суть математики, — ее аксиом. В 1919 году он в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом опубликовал первый из трех томов «Principia Mathematica». В этой книге они предприняли успешную попытку решить проблему, вызванную парадоксом Рассела. В течение следующих двадцати лет многие математики использовали «Principia Mathematica» в качестве руководства по возведению безупречного здания математики, и к 1930 году, когда Гильберт вышел в отставку, он мог быть уверен в том, что математика находится на верном пути к выздоровлению. Казалось, мечта Гильберта о непротиворечивой логике, достаточно мощной для того, чтобы ответить на любой вопрос, близится к осуществлению.
Но в 1931 году никому не известный двадцатипятилетний математик опубликовал статью, которая навсегда расстроила надежды Гильберта. Курт Гёдель заставил математиков признать, что математика никогда не станет логически совершенной. Неявно в его работе содержалась и та мысль, что некоторые проблемы математики, например, Великая теорема Ферма, могут оказаться неразрешимыми.
Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Моравии, входившей тогда в состав Австро-Венгерской империи, а ныне образующей часть Чехии. В раннем детстве Гёдель перенес несколько заболеваний, самым серьезным из которых был приступ ревматизма в шестилетнем возрасте. Дыхание смерти, которое Гёдель ощутил в столь нежном возрасте, привело к мучительной ипохондрии, которой он страдал всю жизнь. В восьмилетнем возрасте, читая медицинский учебник, Гёдель убедился, что у него слабое сердце, хотя ни один из врачей не находил тревожных симптомов. Позднее, уже в конце жизни, Гёдель ошибочно решил, что его хотят отравить, и, отказавшись от приема пищи, уморил себя голодом.
Еще в детстве Гёдель обнаружил необычайные способности к естественным наукам и математике, и за свою пытливую натуру получил семейное прозвище «господин Почему» (der Herr Warum). Гёдель поступил в Венский университет, так и не сделав выбор между математикой и физикой, но вдохновленный зажигательными и страстными лекциями профессора Ф. Фуртвенглера по теории чисел, решил посвятить себя числам. Лекции были тем более необычными, что Фуртвенглер, парализованный от шеи и ниже, вынужден был читать их, сидя в инвалидной коляске, без конспектов, а его ассистент производил выкладки на доске.
К двадцати с небольшим годам Гёдель стал штатным сотрудником математического факультета, но вместе со своими коллегами нередко участвовал в заседаниях Венского кружка — группы философов, собиравшихся для обсуждения наиболее значительных проблем современной логики. Именно в тот период у Гёделя сложились идеи, подорвавшие самые основания математики.
В 1931 году Гёдель опубликовал свою работу «"Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» 5, в которой содержались его так называемые теоремы о неразрешимости. Когда весть о теореме Гёделя достигла Америки, великий математик Джон фон Нейман тотчас же заменил часть своего курса о программе Гильберта обсуждением революционной работы Гёделя.
Гёдель доказал, что попытка создания полной и непротиворечивой математической системы — задача заведомо невыполнимая. Идеи Гёделя можно кратко сформулировать в двух утверждениях. [14]
Первая теорема о неполноте
Если аксиоматическая теория непротиворечива, то существуют теоремы, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты.
Вторая теорема о неполноте
Непротиворечивость теории не может быть доказана теми методами, которые в ней формализуются.
14
Обе теоремы относятся к достаточно богатой математической теории (например, к аксиоматике Пеано теории целых чисел или системе аксиом Цермело–Френкеля). Следует иметь в виду, что здесь приводятся не точные формулировки теорем, а их популярная интерпретация.
По существу, первая теорема Гёделя утверждает, что какая бы система аксиом ни использовалась, всегда найдутся вопросы, на которые математика не сможет найти ответ, — полнота недостижима. Что еще хуже, вторая теорема Гёделя утверждает, что математики никогда не смогут быть уверены в том, что их выбор аксиом не приведет к противоречию, — непротиворечивость никогда не может быть доказана. Гёдель показал, что программа Гильберта неосуществима.
Через несколько десятилетий в своей книге «Портреты по памяти» Бертран Рассел описывал свое впечатление от открытия Гёделя так: «Я жаждал определенности так же, как другие жаждут обрести религиозную веру. Мне казалось, что найти определенность в математике можно с большей вероятностью, чем где-нибудь еще. Но я обнаружил, что многие математические доказательства, которые, в соответствии с ожиданиями моих учителей, мне надлежало принять за истинные, обременены ошибками и что, если определенность действительно может быть обнаружена в математике, то произойдет это в новой области математики с более надежными основаниями, чем те, которые считались надежными прежде. По мере того, как работа продвигалась, мне постоянно приходила на ум басня о слоне и черепахе. Построив слона, на котором мог покоиться математический мир, я обнаружил, что слон нетвердо стоит на ногах, и приступил к построению черепахи, которая удержала слона от падения. Но черепаха оказалась не более надежной, чем слон, и после двадцати с лишним лет напряженнейшего труда я пришел к заключению, что нет ничего, что я бы не сделал, дабы придать математическому знанию непоколебимость».
Вторая теорема Гёделя утверждает, что невозможно доказать непротиворечивость аксиом, но это не обязательно означает, что аксиомы противоречивы. Многие математики все еще верят в глубине сердца, что их математика останется непротиворечивой, но не могут это доказать. Через много лет выдающийся специалист по теории чисел Андре Вейль заметил: «Бог существует потому, что математика непротиворечива, а дьявол существует потому, что мы не можем доказать это».
В действительности, и формулировка и доказательство теорем неполноты Гёделя крайне сложны. Например, строгая формулировка первой теоремы неполноты имеет следующий вид: