Великая Теорема Ферма

Сингх Саймон

Другим хорошим примером, показывающим почему не следует доверять только результатам компьютерных расчетов, может служить гипотеза Эйлера. Эйлер предположил, что уравнение

x⁴ + y⁴ + z⁴ = w⁴,

аналогичное уравнению Ферма, не имеет ненулевых решений в целых числах. На протяжении двух столетий никому не удавалось доказать гипотезу Эйлера, как, впрочем, и опровергнуть ее контрпримером. Ни первые вычисления вручную, ни долгие годы просеивания чисел с помощью компьютеров не позволили обнаружить ни одного решения. Отсутствие контрпримера воспринималось как убедительное свидетельство в пользу гипотезы Эйлера. Но в 1988 году Наум Элькис из Гарвардского университета нашел следующее решение:

2 682 440⁴ + 15 365 639⁴ + 187 960⁴ = 20 615 673⁴. [15]

Несмотря на все «подкрепляющие» данные гипотеза Эйлера оказалась ложной. В действительности Элькис доказал, что это уравнение имеет бесконечно много решений в целых числах. Мораль ясна: нельзя использовать результаты, полученные для первого миллиона целых чисел, как обоснование гипотезы относительно всех целых чисел.

Но обманчивый характер гипотезы Эйлера — ничто по сравнению с гипотезой о завышенной оценке количества простых чисел. Рассматривая все б'oльшие и б'oльшие целые числа, мы убеждаемся, что найти среди них простые числа становится все труднее. Например, между 0 и 100 расположены 25 простых чисел, тогда как между 10 000 000 и 10 000 100 — только 2 простых числа. В 1791 году Карл Гаусс, которому было тогда всего лишь четырнадцать лет, сформулировал приближенный закон, по которому уменьшается частота простых чисел. Формула Гаусса давала разумную точность, но всегда слегка завышала истинное распределение простых чисел. Проверка на простых числах до миллиона, миллиарда или триллиона показала, что гипотеза Гаусса излишне щедра, и математики испытывали сильнейшее искушение считать, что так будет и для всех чисел до бесконечности. Так родилась гипотеза о завышенной оценке распределения простых чисел.

15

А Роджер Фрай (как сказано в "Конкретной математике" Р. Грэхема, Д. Кнута и О. Паташника) затратив 110 часов работы суперкомпьютера Connection Machine, показал, что единственным решением для w < 1 000 000 является 95 800⁴ + 217 519⁴ + 414 560⁴ = 422 481⁴. — E.G.A.

В 1914 году Дж. И. Литлвуд, сотрудник Г.Г. Харди по Кембриджскому университету доказал, что для очень больших чисел формула Гаусса даст заниженную оценку распределения простых чисел. В 1955 году С. Скьюз показал, что недооценка количества простых чисел может наступить прежде, чем будет достигнуто число

Это число невозможно даже представить, и никаких практических приложений оно не имеет. Харди назвал число Скьюза «самым большим числом, которое когда-либо служило какой-нибудь цели в математике». Харди подсчитал, что если бы кто-нибудь вздумал сыграть в шахматы со всеми частицами во Вселенной (а их 10⁸⁷; под ходом в такой игре следовало бы понимать перестановку любых двух частиц), то число возможных партий оказалось бы приближенно равно числу Скьюза.

Не существует причин, по которым Великая теорема Ферма не могла бы оказаться столь же обманчивой, как гипотеза Эйлера или гипотеза о завышенной оценке распределения простых чисел.

Аспирантские годы

В 1975 году Эндрю Уайлс поступил в аспирантуру Кембриджского университета. В ближайшие три года ему предстояло работать над диссертацией на соискание ученой степени Рh.D. (доктора философии) и за это время как бы пройти свое послушание математика-подмастерья. У каждого аспиранта имеется свой руководитель и наставник. У Уайлса им был австралиец Джон Коутс, профессор из колледжа Эммануэля, живший у себя на родине в городке Посум Браш в Новом Южном Уэльсе.

Коутс хорошо помнит, как он принял Уайлса: «Помню, что коллега сообщил мне о своем очень сильном студенте, который только что сдал последнюю часть экзаменов по математике и настоятельно рекомендовал мне взять его в аспирантуру. К счастью, я знал Эндрю еще в бытность его студентом. Еще тогда у него были очень глубокие идеи, и было ясно, что он математик с большим будущим. Разумеется, в то время не было и речи о том, чтобы какой-нибудь аспирант работал непосредственно над доказательством Великой теоремы Ферма. Она слишком трудна и для более опытного математика».

В последнее десятилетие все, что делал Уайлс, было направлено на подготовку к решающей схватке с Великой теоремой Ферма, но теперь, когда он вступил в ряды профессиональных математиков, ему приходилось быть более прагматичным. Как вспоминает Уайлс, он был вынужден временно отказаться от своей мечты. «Придя в Кембридж, я отложил Ферма в сторону. Не то, чтобы я забыл о теореме — она всегда была со мной, но я вдруг осознал, что те методы, которыми мы пытались доказать ее, существовали уже около 130 лет. По-видимому, они не позволяли дойти до корней проблемы. Работая над доказательством теоремы Ферма, вы могли потратить годы и остаться ни с чем. Работать над любимой проблемой — одно удовольствие, пока получается интересная математика, даже если проблему не удается решить к концу дня. Хорошей математической проблемой по определению считается такая, которая порождает хорошую математику. Важна математика, а не сама проблема».

 Эндрю Уайлс во время обучения в колледже

 Джон Коутс, научный руководитель Уайлса в 70-е годы, продолжал поддерживать отношения со своим бывшим студентом

В обязанности Джона Коутса входило найти для Эндрю новую увлекательную проблему, которая станет предметом его исследования по крайней мере на следующие три года. «Думаю, все, что руководитель может сделать для аспиранта, — это попытаться дать ему толчок в правильном направлении. Разумеется, никто не может с уверенностью знать заранее, какое направление исследования окажется плодотворным, но одно старший по возрасту математик может сделать — использовать свое чутье, свою интуицию при выборе стоящей области исследования, а от аспиранта зависит, насколько ему удастся продвинуться в указанном направлении». В конце концов Коутс решил, что Уайлсу следовало бы заняться областью математики, известной под названием теории эллиптических кривых. Как впоследствии оказалось, это решение стало поворотным пунктом в судьбе Уайлса и вооружило его теми методами, которые понадобились при выработке нового подхода к доказательству Великой теоремы Ферма. Название «эллиптические кривые» способно ввести в заблуждение потому, что они не эллипсы и даже не кривые в обычном смысле слова. Речь, скорее, идет об уравнениях вида

y² = x³ + ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа.

Свое название эллиптические кривые получили потому, что некоторые функции, тесно связанные с этими кривыми, потребовались для измерения длин эллипсов (а, следовательно, и длин планетных орбит). Уравнения такого вида называются кубическими. Проблема эллиптических кривых, как и проблема доказательства Великой теоремы Ферма, заключается в вопросе, имеют ли соответствующие им уравнения целочисленные решения, и если имеют, то сколько. Например, кубическое уравнение

y² = x³–2,

где a=0, b=0, c=–2, имеет только одно решение в целых числах, а именно:

5² = 3³– 2, или 25 = 27-2.

Доказать, что это уравнение имеет только одно решение в целых числах — трудная задача. Этот факт доказал Пьер Ферма. В гл. 2, как вы, возможно, помните, мы упоминали о том, что 26 — единственное число во всей Вселенной, заключенное между квадратом и кубом. Доказал это также Ферма. Его доказательство эквивалентно доказательству того, что приведенное выше кубическое уравнение имеет только одно решение в целых числах, т. е. 52 и 33 — единственные квадрат и куб, разность которых равна 2, т. е. 26 — единственное целое число, которое может быть заключено между квадратом и кубом.

Особое очарование кубическим уравнениям придает то, что образно говоря они занимают нишу между более простыми уравнениями, решения которых почти тривиальны, и более сложными, решить которые невозможно. Изменяя значения a, b и c в общем кубическом уравнении, можно получить бесконечное множество уравнений, каждое из которых обладает своими характерными особенностями, но все эти уравнения поддаются анализу.

Первыми изучали кубические уравнения древнегреческие математики, в том числе Диофант, который посвятил изучению их свойств большие разделы своей «Арифметики». Возможно, именно под влиянием Диофанта занялся изучением кубических уравнений Ферма, а поскольку его излюбленный герой исследовал такие уравнения, Уайлс был счастлив продолжить эти исследования. Для начинающих математиков, вроде Уайлса, кубические уравнения представляли крепкий орешек даже через две тысячи лет после Диофанта. По словам Уайлса, «они были очень далеки от полного понимания. Существует множество простых на первый взгляд вопросов относительно кубических уравнений, все еще остающихся нерешенными. Даже вопросы, которые рассматривал еще Ферма, до сих пор остаются без ответа. В каком-то смысле вся математика, которую мне удалось разработать, восходит если не к Великой теореме Ферма, то к другим его идеям».