Великая Теорема Ферма

Сингх Саймон

Большой интерес к гипотезе Таниямы-Шимуры был обусловлен тем, что она наводила мост между двумя островами и позволяла их обитателям впервые говорить друг с другом. Барри Мазур склонен видеть в гипотезе Таниямы-Шимуры устройство, позволяющее осуществлять перевод с одного языка на другой, аналогичное розеттскому камню, надписи на котором были выполнены на трех языках: демотическим египетским письмом, на древнегреческом языке и египетскими иероглифами. Так как демотическое письмо и древнегреческий были понятны, археологи впервые смогли расшифровать египетские иероглифы. «Если один из языков вы знаете, то розеттский камень позволяет вам достичь глубокого понимания другого языка, — говорит Мазур. — Но гипотеза Таниямы-Шимуры — розеттский камень, наделенный определенной магической силой. Гипотеза Таниямы-Шимуры обладает весьма приятной особенностью, которая заключается в том, что простые интуитивные соображения в модулярном мире при переводе превращаются в глубокие истины в эллиптическом мире, и наоборот. Более того, глубокие проблемы в эллиптическом мире иногда решались очень просто при переводе их с помощью нового "розеттского камня" на язык модулярного мира, если удавалось обнаружить в модулярном мире идеи и средства для решения переведенной проблемы. Оставаясь в эллиптическом мире, мы были бы обречены на поражение».

Если бы гипотеза Таниямы-Шимуры оказалась верной, то она позволила бы математикам подходить к решению эллиптических проблем, остававшихся нерешенными на протяжении столетий, с позиций модулярного мира. Была надежда, что область эллиптических уравнений удастся объединить с областью модулярных форм. Гипотеза Таниямы-Шимуры также породила надежду на существование мостов и между другими областями математики. В 60-е годы возможности, заложенные в гипотезе Таниямы-Шимуры, поразили воображение Роберта Ленглендса из Принстонского Института высших исследований. И хотя гипотеза не была доказана, Ленглендс был убежден, что она представляет собой всего лишь один из элементов гораздо более общей схемы унификации. Он считал, что все основные разделами математики взаимосвязаны, и приступил к поиску такого рода связей. Через несколько лет его поиски стали приносить первые результаты. Другие гипотезы о связях между разными разделами математики были гораздо слабее и рискованнее, чем гипотеза Таниямы-Шимуры, но все они сплетались в одну тонкую сеть. Ленглендс мечтал о том, как одна за другой эти гипотезы будут доказаны и возникнет великая единая математика.

Ленглендс охотно обсуждал свой план построения математики будущего (который впоследствии стали называть программой Ленглендса) и пытался привлечь других математиков к участию в доказательстве множества своих гипотез. Никаких путей, ведущих к цели не было видно, но если бы мечта Ленглендса все же осуществилась, то награда была бы грандиозной. Любую неразрешимую проблему в одной области математики можно было бы трансформировать в аналогичную проблему из другой области, где для ее решения имелся бы целый новый арсенал методов. [17] В случае неудачи эту проблему можно было бы перенести еще в какую-нибудь другую область математики, и так далее — до тех пор, пока наконец она не будет решена. В один прекрасный день, как надеялся автор программы Ленглендс, математики смогут решить самые трудные и тонкие проблемы, перенеся их в более подходящее место математического ландшафта.

17

Строго говоря программа Ленглендса относится прежде всего к установлению связей между теорией представлений алгебраических групп, теорией модулярных форм и теорией Галуа глобальных полей.

Важные следствия программа Ленглендса могла бы иметь и для прикладных наук и техники. Идет ли речь о моделировании взаимодействий между сталкивающимися кварками, или о выяснении наиболее эффективного варианта организации телекоммуникационной сети, часто ключом к решению проблемы служит выполнение математических расчетов. В некоторых разделах физики и техники сложность вычислений столь высока, что служит серьезнейшим препятствием на пути к прогрессу. Если бы математики могли доказать «мостообразующие» гипотезы из программы Ленглендса, то появились бы пути решения не только абстрактных, но и практических проблем реального мира.

К 70-м годам программа Ленглендса стала своего рода перспективным планом развития математики, но «путь в рай», о котором может только мечтать каждый любитель решать задачи, был закрыт весьма простым обстоятельством: никто не имел ни малейшего представления о том, как можно было бы доказать любую из гипотез Ленглендса. Первым шагом к осуществлению программы Ленглендса могло бы стать доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры, но и оно пока было неосуществимо.

Несмотря на это, гипотеза Таниямы-Шимуры упоминалась в сотнях математических статей, авторы которых рассуждали о том, что произошло бы, если бы ее удалось доказать. Такие статьи начинались с преамбулы: «Предположим, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна…» Далее следовал набросок решения какой-нибудь нерешенной задачи. Разумеется, полученные в таких работах результаты были не более чем гипотетическими. В свою очередь, эти результаты включались как предположения в другие результаты, и т. д. Возникла обширная математическая «страна», опиравшаяся только на истинность гипотезы Таниямы-Шимуры. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого нового здания в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы-Шимуры не была доказана, все здание могло рухнуть в любой момент.

В то время Эндрю Уайлс был молодым аспирантом Кембриджского университета, и он отчетливо вспоминает тревогу, которая охватила математическое сообщество в 70-е годы: «Мы строили все новые и новые гипотезы, простиравшиеся все дальше и дальше в будущее, но все это обратилось бы в прах, окажись гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Нам было необходимо доказать ее, чтобы продемонстрировать обоснованность плана, который мы с таким энтузиазмом наметили на будущее».

Математики сложили хрупкий карточный домик. Они мечтали о том, что в один прекрасный день удастся подвести под это сооружение надежный фундамент. Их неотвязно мучил кошмар: кто-нибудь мог доказать, что гипотеза Таниямы-Шимуры неверна, и тем самым свести на нет плоды математических исследований на протяжении двух десятков лет.

Недостающее звено 

Осенью 1984 года избранная группа специалистов по теории чисел собралась на симпозиум в Обервольфахе, небольшом городке в Германии, в Шварцвальде. Участники симпозиума намеревались обсудить успехи в изучении эллиптических кривых. Естественно, что некоторые из докладчиков собирались сделать сообщения о продвижениях, которые им удалось достичь при исследовании гипотезы Таниямы-Шимуры. Один из выступавших, математик из Саарбрюкена Герхард Фрей высказал весьма примечательное утверждение. По его мнению, если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма.

Когда Фрею предоставили слово для доклада, он начал с того, что выписал уравнение Ферма

xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n — натуральное число больше 2.

Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет решений в целых числах. Фрей исследовал вопрос о том, что бы произошло, если бы Великая теорема Ферма оказалась неверной, т. е. если бы уравнение Ферма допускало бы по крайней мере одно решение в целых числах. Фрей не имел ни малейшего представления о том, каким могло бы быть его гипотетическое (и еретическое) решение, поэтому неизвестные целые числа, якобы удовлетворяющие уравнению Ферма, он обозначил буквами A, B и C. Тем самым он предположил, что для некоторого N выполнено равенство:

A^N + B^N = C^N.

Затем Фрей приступил к «преобразованию» уравнения. Это строгая математическая процедура, изменяющая вид уравнения, оставляя неизменной его сущность. С помощью искусных и сложных маневров Фрею удалось преобразовать исходное уравнение Ферма, обладающее гипотетическим решением, к виду

y² = x³ + (A^N — B^N)·x² — A^NB^N.

Хотя полученное уравнение по своему внешнему виду очень сильно отличается от исходного, тем не менее оно является его прямым следствием с учетом принятой гипотезы. Иначе говоря, если (и, разумеется, это большое «если») уравнение Ферма допускает решение в целых числах, то такое преобразованное уравнение существует. Поначалу преобразование Фрея не произвело особого впечатления на аудиторию, но он обратил внимание присутствующих на то, что это уравнение кубическое, а кривая, ему соответствующая, является эллиптической.