Великая Теорема Ферма
Шрифт:
Следует заметить, что добавление гамма-нуля M– структуры, звучавшее так просто для Кена Рибета, представляет довольно «хитроумную» часть доказательства.
«Это был тот самый нюанс, которого мне недоставало, и теперь я видел его перед собой ясно и определенно. К себе в гостиничный номер я возвращался, как во сне. Я был полностью поглощен этой новой идеей. Меня не покидала мысль: "Боже, неужели это правильно?". Сев за стол, я принялся лихорадочно строчить в блокноте. Через час-другой я закончил все выкладки и убедился в том, что все ключевые шаги мной проверены и они прекрасно согласуются. Я еще раз просмотрел доказательство от начала и до конца. Все работало, как надо! На Международном конгрессе присутствовали тысячи математиков, и в беседе с некоторыми из коллег я упомянул о том, что мне удалось доказать, что Великая теорема Ферма следует из гипотезы Таниямы-Шимуры. Новость распространилась, как лесной пожар. Мои коллеги бросились ко мне с вопросом: «Правда ли, что Вам удалось доказать, что эллиптическая кривая Фрея не модулярна?» Я подумал минуту-другую и уверенно заявил: "Да!"».
Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы-Шимуры. Если бы кому-нибудь удалось доказать, что любая эллиптическая кривая модулярна, то из этого следовало бы, что уравнение Ферма не имеет решений в целых числах, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана.
На протяжении трех с половиной столетий Великая теорема Ферма была изолированной проблемой, занимательной и неразрешимой головоломкой на краю математики. Теперь Кен Рибет, вдохновленный Герхардом Фреем, передвинул проблему Ферма в центр событий. Самая занимательная проблема, остававшаяся нерешенной с XVII века, оказалась неразрывно связанной с самой значительной проблемой XX века. Головоломка огромного исторического и эмоционального значения оказалась связанной с гипотезой, способной революционизировать современную математику. Действительно, теперь математики могли подходить к доказательству Великой теоремы Ферма, придерживаясь стратегии доказательства от противного. Чтобы доказать, что Великая теорема Ферма верна, математики исходили из предположения, что она неверна. Из этого бы следовало, что гипотеза Таниямы-Шимуры неверна. Но если бы можно было доказать, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна, то из этого следовало бы, что и Великая теорема Ферма должна быть верна.
Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы-Шимуры не удавалось, и надежд на успех оставалось все меньше. Пессимистом был даже Кен Рибет: «Я был одним из очень многих, кто считал гипотезу Таниямы-Шимуры совершенно не доказуемой. Я и не пытался доказывать ее. Об этом нечего было и думать. Эндрю Уайлс был, по-видимому, одним из немногих людей на Земле, кто осмелился попытаться доказать эту гипотезу».
Глава 6. Тайные вычисления
Кто знает толк в решении задач, должен обладать двумя несовместимыми качествами: живым воображением и несгибаемым упорством.
«Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось доказать существование взаимосвязи между гипотезой Таниямы-Шимуры и доказательством Великой теоремы Ферма. Я почувствовал себя так, словно через меня пропустили мощный электрический разряд. Мне сразу стало ясно, что отныне весь ход моей жизни круто изменился: ведь от доказательства Великой теоремы Ферма меня отделяло теперь только одно препятствие: доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры. Значит, моя детская мечта — не пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни минуты, я отправился домой и принялся за работу».
Более двух десятилетий прошло с того дня, когда Эндрю Уайлс нашел на библиотечной полке книгу Э.Т. Белла, вдохновившую его принять вызов, брошенный математикам Пьером де Ферма. Но только теперь Уайлс впервые отчетливо увидел путь к осуществлению своей детской мечты. Уайлс вспоминает, как резко за один вечер изменилось его отношение к гипотезе Таниямы-Шимуры: «Мне вспомнилось, как один знакомый математик отозвался о гипотезе Таниямы-Шимуры дерзко и уничижительно, назвав ее "упражнением для заинтересованного читателя". Ну что же, с этого вечера я стал очень заинтересованным читателем!»
Завершив под руководством профессора Джона Коутса работу над диссертацией на соискание ученой степени Ph.D. в Кембридже, Уайлс перебрался через Атлантику, в Принстонский университет, где ко времени описываемых событий успел стать профессором. Благодаря научному руководству Коутса, Уайлс, по-видимому, знал об эллиптических кривых больше, чем кто-либо другой в мире, но он прекрасно сознавал, что ни его обширные познания, ни отточенная техника решения математических задач не гарантируют успеха. Гипотеза Таниямы-Шимуры стояла перед ним подобно неприступной крепости.
В 1986 году Эндрю Уайлс узнал, что Великую теорему Ферма, возможно удастся доказать с помощью гипотезы Таниямы-Шимуры
Многие другие математики, в том числе и Джон Коутс, считали любые попытки доказать гипотезу Таниямы-Шимуры безнадежным делом: «Сам я весьма скептически относился к тому, что красивая связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры действительно приведет к какому-нибудь результату. Должен признаться, я не думал, что гипотеза Таниямы-Шимуры доказуема. Как ни красива эта проблема, решить ее не представлялось возможным. Я полагал, что мне не удастся увидеть ее доказанной при жизни».
Уайлс знал, что шансы на успех у него чрезвычайно малы. Но даже если бы ему не удалось найти доказательство Великой теоремы Ферма, то он не считал бы, что усилия потрачены им напрасно: «Разумеется, гипотеза Таниямы-Шимуры долгие годы оставалась открытой. Ни у кого не было даже намеков на доказательство, но, по крайней мере, эта гипотеза оставалась в основном русле развития математики. Пытаясь найти доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры, я мог получить результаты, которые, хотя они и не позволят решить проблему в целом, все же можно будет считать хорошей математикой. Я не напрасно потрачу время. Итак, роман с Ферма, длившийся всю мою жизнь, сколько я себя помню, дополнился проблемой, которую высокие профессионалы считали неразрешимой».
На чердаке отшельника
В начале XX века великого математика Давида Гильберта спросили, почему он никогда не пытался доказать Великую теорему Ферма. На это Гильберт ответил: «Прежде чем начать, я должен был бы затратить года три на усиленную подготовку, а у меня нет столько времени, чтобы так расточительно расходовать его на решение проблемы, которое может закончиться неудачей». Уайлс сознавал, что для того, чтобы иметь хоть малейшую надежду найти доказательство, ему сначала необходимо с головой погрузиться в проблему, но, в отличие от Гильберта, был готов пойти на риск. Уайлс прочитывал все новейшие номера математических журналов и осваивал самые последние математические методы. Собирая оружие, необходимое для предстоящей битвы, Уайлс провел следующие восемнадцать месяцев, знакомясь даже с самыми незначительными результатами или методами, имевшими отношение к эллиптическим кривым и модулярным формам. Надо сказать, что, по его прикидкам, любая сколько-нибудь серьезная попытка доказательства вполне могла потребовать от математика-одиночки десятилетних усилий.
Уайлс отказался от всего, что не было напрямую связано с доказательством Великой теоремы Ферма. Он перестал принимать участие в нескончаемой веренице конференций и симпозиумов. Оставаясь сотрудником математического факультета Принстонского университета, Уайлс продолжал проводить учебные семинары, читать лекции для студентов и руководить курсовыми и дипломными работами.
«Я имел обыкновение уединяться в кабинете, где пытался найти фрагменты решений тех или иных математических проблем, которые должны были стать частями единой мозаики… Эти фрагменты я пытался сопоставить с каким-нибудь прежним широким, на уровне понятий, пониманием различных разделов математики, которые могли бы прояснить ту проблему, над которой я размышлял. Иногда приходилось идти и заглядывать в какую-нибудь книгу, чтобы узнать, как эта задача решена там. Иногда это требовало слегка изменить известный результат, проделать какие-то дополнительные вычисления. Иногда я приходил к заключению, что все сделанное раньше совершенно бесполезно. В этом случае мне приходилось изобретать что-нибудь совершенно новое. Неизвестно, откуда что бралось.
По существу, это одна из загадок мышления. Часто для того, чтобы привести в порядок мысли, бывает необходимо попытаться изложить их в письменном виде. Когда вы по-настоящему заходите в тупик, когда речь идет о настоящей проблеме, которую требуется решить, обычное традиционное математическое мышление не может помочь вам ничем. К новой идее ведет только длительный период необычайного сосредоточения на проблеме без каких-либо отвлечений. Необходимо действительно не думать ни о чем, кроме проблемы, полностью сосредоточиться на ней. Затем вы должны остановиться, после чего, насколько я могу судить, наступает период релаксации, во время которого вступает в игру подсознание, и в этот момент к вам приходит новая идея».