Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики
Шрифт:
Любопытно, что многие открытия Банаха в области функционального анализа были сделаны в шуме «Шотландского кафе» во Львове (в то время считавшемся территорией Польши), где он нацарапывал заметки на мраморной крышке стола или на салфетке. Результатом этих заметок Банаха и других известных математиков, его компаньонов, стала «Шотландская книга» — один из самых важных математических документов XX века.
КВАНТЫ, МАТРИЦЫ И ВОЛНЫ
После тысячи и одной неудачной попытки объяснить излучения черного тела (то есть тела, находящегося в закрытой полости) немецкому физику Максу Планку (1858-1947) наконец это удалось. Он заявил, что излучение и поглощение энергии всегда происходит
Но в числе действующих лиц старой квантовой теории, кроме Планка, присутствуют Альберт Эйнштейн и Нильс Бор (1885-1962). В 1905 году, ставшем чудесным годом, Эйнштейн применил квантовую гипотезу к изучению света: световые волны состоят из мельчайших частиц (которые позже получили название фотонов), как это видно из фотоэлектрического эффекта. До середины XIX века корпускулярное видение материи, наследство Ньютона, доминировало над волновым видением. До 1900 года существовала гибридная концепция: твердые тела и флюиды (жидкости и газы) считались состоящими из частиц, а электромагнитное излучение понималось как волны. Теперь же выяснилось, что физикам нужно отказаться от классической концепции материи (волна или частица) ради новой концепции: волна и частица (как в случае со светом).
В 1913 году Бор, стипендиат (благодаря поддержке фонда пивоваренной компании) лаборатории Эрнеста Резерфорда (1871-1937), квантизовал атом с целью объяснить атомные спектры. Прерывистые линии спектров были следствием квантизации энергии электронов внутри атома. К несчастью, модель атома Бора потерпела крах при применении ее к многоэлектронным атомам, и ученые постепенно приходили к выводу, что необходимо радикальное изменение в основаниях физики: появление нового вида механики (Макс Борн (1882-1970) назвал ее квантовой), который содержал бы связную аксиоматику, независимую от классических теорий, и преодолел бы мешанину из принципов, законов и вычислительных инструкций, составлявших старую квантовую теорию.
У Зоммерфельда я научился оптимизму, у гёттингенцев — математике, а у Бора — физике.
Вернер Гейзенберг
В 1925 году молодой физик Вернер Гейзенберг (1901-1976), приват-доцент в университете Геттингена, вывел основы квантовой механики, выздоравливая после приступа сенной лихорадки на острове Гельголанд. Гейзенберг настаивал, что множество всех частот и амплитуд излучения, испускаемого атомом, может считаться полным описанием системы атома, даже если невозможно истолковать его в смысле электронной траектории, которая вызывает излучение, поскольку орбиты электронов внутри атома ненаблюдаемы.
ОДНА ПРОБЛЕМА, ДВА РЕШЕНИЯ
Посмотрим, как квантовые механики решали проблему нахождения различных энергетических уровней электрона атома водорода. В матричной механике нужно было «диагонализовать» матрицу Гамильтона Н, измеряющую общую энергию системы, то есть определить матрицу S так, чтобы матрица W = S– 1HS была диагональной; так диагональные элементы Еn — это энергетические значения электрона:
В свою очередь, в волновой механике требовалось решить волновое уравнение Шрёдингера, то есть следующее уравнение в частных производных:
– + V = ,
где —
Собственные значения
В классической физике собственные значения определяли, например, характерные частоты колебания упругой мембраны, так что любое колебание могло выражаться как наложение этих базовых видов колебания. В квантовой физике собственные значения Еп — это как раз возможные уровни энергии электрона атома водорода. Разницы между этими собственными значениями дают частоты испускаемых квантов света (фотонов), описывая таким образом структуру спектра излучения атома. В свою очередь, различные состояния электрона заданы собственными функциями n, соотносящимися с собственными значениями. В математике множество собственных значений Еn матрицы или оператора называется спектром. В результате чудесного совпадения математический спектр (название для которого Гильберт выбрал случайно) в итоге стал ключевым для объяснения физических спектров атомов. Ученый говорил: «Я разработал теорию о бесконечных переменных и даже назвал ее спектральным анализом, совсем не предполагая, что позже она найдет применение для настоящего физического спектра». Это была счастливая случайность.
Жак Шарль Франсуа Штурм
Жозеф Лиувилль.
Кроме того, он выяснил, что эти множества чисел (соответствующие коэффициентам Фурье классического выражения движения электрона) не коммутируют. Другими словами, в отличие от классических величин, квантовые в целом выполняют QP /= PQ. Через несколько месяцев двое коллег из Геттингена, физик Макс Борн и математик Паскуаль Йордан (1902-1980), признали, что эти множества чисел Q и Р ведут себя как математические матрицы (хотя сам Гейзенберг, по его словам, даже не знал, что такое матрица). Матричная квантовая механика выросла в саду, возделанном Гильбертом. Однако Геттинген разделился на две группы: Гильберт и его сторонники верили в большой успех, обусловленный введением матричного исчисления в физику, а их противники отмахивались от утомительной метаматематики, наполнившей атомную физику.
В рождественские каникулы 1925-1926 года Эрвин Шрё- дингер (1887-1961) осветил волновую квантовую механику, пока наслаждался обществом своей последней возлюбленной (по словам Германа Вейля, его коллеги по Цюриху). В отличие от юных физиков и математиков Геттингена, но как представителю значительной части старой гвардии, Шрёдингеру не очень импонировала квантовая механика Гейзенберга, Борна и Йордана. В поисках интуитивно более понятной теории, в которой бы применялись только классические математические инструменты, он вывел свое знаменитое волновое уравнение. Идея возникла при изучении движения электрона, как если бы речь шла о волновом движении, волновая функция которого отвечала бы за описание состояния системы. Его работа была принята с воодушевлением, потому что решить дифференциальное уравнение — чем физики занимались уже несколько веков — казалось намного проще, чем найти решение некоторых матричных уравнений.