Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики
Шрифт:
4
ds2= gijdxidxj.
i,J=1
Этот метрический тензор, который определял геометрические свойства (естественно, неевклидовы), характеризовал также гравитационное поле (см. рисунок на предыдущей странице). Однако уравнения гравитационного поля, содержащиеся в статье, не были верны, и вскоре от них отказались. Тогда для Эйнштейна начался долгий и утомительный период, прежде чем к концу ноября 1915 года он начал различать свет истины. Эйнштейн боролся с тензорным исчислением, чтобы получить правильные уравнения. Он внедрялся в область, куда осмелились ступить лишь некоторые математики. Одним из них был наш герой, Давид Гильберт.
С 1909-го и практически до 1920 года Гильберт демонстрировал большую склонность к теоретической физике, применяя к ней методы вариационного исчисления. Итогом этих
В какой-то момент Эйнштейна обеспокоила столь пылкая вовлеченность Гильберта в этот процесс, и когда в конце ноября 1915 года Гильберт предложил в письме Эйнштейну свои уравнения, тот, недавно нашедший итоговые уравнения общей теории относительности, сразу же обозначил собственное первенство. Гильберту оставалось только послать письмо с поздравлением.
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Пространство-время Минковского четырехмерное. Материя искривляет его так, что объекты перестают двигаться по прямым линиям и начинают двигаться по кривым, по геодезическим, под действием гравитации или некоторого ускорения. Чем больше массы или энергии мы введем, тем больше искривится пространство-время Минковского. Отношение между присутствием массы-энергии и формы четырехмерного пространства-времени задано уравнениями поля Эйнштейна:
G = (8G)/(c4·T).
В левой части уравнения появляется G, то есть тензор кривизны Эйнштейна: он измеряет деформацию пространства и зависит, в свою очередь, от метрического тензора, от gij. расстояния. В правой части, кроме числа , постоянной всемирного тяготения G и скорости света с, появляется тензор энергия-импульс , который воплощает материю. Подводя итог: пространство диктует материи, как она должна двигаться, а материя обозначает для пространства, как оно должно искривляться. Отметим, что в 1917 году Гильберту удалось доказать: евклидова геометрия является настоящей геометрией Вселенной только тогда, когда тензор энергия-импульс точно равен нулю, то есть при отсутствии материи. В любом случае то, что евклидова геометрия была сброшена с пьедестала в глобальном отношении, ни в коем случае не означает, что она не несет локальной пользы в нашем окружении.
Считалось, что Гильберт вывел уравнения теории относительности гравитационного поля раньше, чем Эйнштейн, хотя он никогда не оспаривал его первенство. Гильберт отправил свою статью в печать 20 ноября 1915 года, за пять дней до Эйнштейна. Воспользовавшись своими обширными математическими знаниями, он сформулировал вариационный принцип, из которого выводились уравнения гравитации и электромагнетизма (Эйнштейн, наоборот, ограничился гравитационным взаимодействием.) Он утверждал, что законы физики определяются тем, что некоторый интеграл достигает своего минимума. С другой стороны, некоторая функция, зависящая от римановой метрики, остается инвариантной к произвольным трансформациям координат. С гравитацией и электромагнетизмом он хотел сделать то же самое, что уже было сделано для геометрии: четко установить основания и вывести результаты из минимального числа аксиом или базовых принципов. Аксиоматическая структура, дедуктивный метод и вариационное исчисление — это три основных составляющих вклада Гильберта в физику.
Но если статья Гильберта содержала уравнения общей теории относительности в виде, где была геометризована не только гравитация, но и электромагнетизм, и была отправлена в печать на пять дней раньше, чем статья Эйнштейна, разве не означает это, что честь открытия общей теории относительности принадлежит Гильберту, пусть даже Эйнштейн подготовил ему почву? Ответ на этот вопрос отрицательный по двум причинам. Первая: теория Гильберта не идентична теории Эйнштейна. Формально они равносильны, но различались по физической интерпретации. Для Эйнштейна аксиоматический метод не имел большой пользы в материи; кроме того, в отличие от большинства своих коллег, он не был сторонником идеи, что любая физическая теория должна быть выражена через вариационный принцип. Хотя сегодня имя Эйнштейна ассоциируется у нас с физиком-теоретиком, зацикленным на крайне абстрактных вопросах, следует понимать, что как в годы учебы, так и в период творческого расцвета он всегда был очень близок к экспериментальной реальности. Ему была в большей степени свойственна индукция, чем дедукция.
НАУКА И ВОЙНА
В 1914 году большая часть европейцев в эйфории приветствовала начало Первой мировой войны. Гильберт, наоборот, с первых дней не скрывал, что война кажется ему абсурдной. В августе этого года 93 знаменитых немецких интеллектуала направили манифест «К цивилизованному миру» в ответ на возрастающее возмущение действиями немецкой армии. Под влиянием националистической пропаганды Феликс Клейн подписал это обращение, поддерживающее политику кайзера. Попросили его подписать и Гильберта, но тот отказался, объясняя это тем, что не знает наверняка, являются обвинения в адрес немецких войск ложными или нет. Эта позиция сблизила его с пацифистом Эйнштейном, который тоже отказался подписывать манифест. В разгар войны, в 1917 году, Гильберт опубликовал некролог Жану Гастону Дарбу(1842-1917), выдающемуся французскому математику, в котором превозносил этого ученого. Когда студенты окружили его дом, требуя переписать заметку, Гильберт потребовал у них извинений (и получил их). В результате европейские коллеги увидели в нем человека свободного духом, презирающего традиции и условности. Так что по окончании войны, когда Германия была разгромлена, его репутация сохранилась, и на первом международном конгрессе математиков, состоявшемся в межвоенный период (Болонья, 1928, VIII Международный конгресс математиков), он не колеблясь настаивал на универсальном характере математики, поскольку любые границы — это против природы.
Жан Гастон Дарбу.
Вторая причина, более важная, состоит в том, что, как недавно выяснил историк математики Лео Корри, содержание статьи, представленной Гильбертом в Академию наук 20 ноября, не совпадает с опубликованным. Гильберт внес исправления 6 декабря с учетом представленного Эйнштейном 25 ноября. Похоже, Гильберт изменил свои уравнения, чтобы приспособить их к уравнениям Эйнштейна. Так что этот небольшой спор не вылился в долгосрочную вражду.
У нас произошла размолвка, причины которой я не хочу анализировать. [...] Просто стыдно подумать, что двое приличных людей, сумевших отчасти отрешиться от мелких страстей человечества, не могут наслаждаться общением друг с другом.
Альберт Эйнштейн в письме Гильберту от 20 декабря 1915 года
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если исследовательский этап Гильберта в области вариационного исчисления привел его к разработке общей теории относительности, то период между 1904 и 1910 годами, который он посвятил интегральным уравнениям, позволил ему сделать то же с квантовой механикой. Речь, конечно же, о самом важном вкладе Гильберта в математический анализ и опосредованно в физику, о ряде статей, которые позже он объединил в монографии «Основания общей теории линейных интегральных уравнений» (1912), содержащей не только строгую математическую теорию, но и множество разнообразных физических применений — от кинетической теории газов до теории излучения.
Но начнем сначала. Для интегрального уравнения характерно, что неизвестная функция также появляется внутри интеграла. Например:
b
x(t) + K(t,s)x(s)ds = f(t),
a
где функция K(t, s) является ядром интегрального уравнения. При заданном ядре K(t, s) и функции f(t) (непрерывные функции) требуется найти неизвестную функцию x(t).
В XIX веке было сформулировано несколько интегральных уравнений по физическим вопросам, таким как проблема брахистохроны или проблема Дирихле. Но только в 1888 году Поль де Буа-Реймон (1831 — 1889) ввел термин «интегральные уравнения» для их обозначения и заявил о необходимости разработать общую теорию этих уравнений в качестве альтернативного метода решения задач с дифференциальными уравнениями.