Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики
Шрифт:
Недостаток платонизма заключается в том, что он перенаселяет небеса. Платонизм хорош, когда необходимо утверждать, будто реально существуют простые математические сущности (треугольник в целом, квадрат в целом или общее количество натуральных чисел). Но он рушится, едва мы оставляем в стороне объекты античной математики и обращаемся к надуманным объектам современной математики — классам, множествам, функциям и сложным абстрактным структурам, которые выходили на первый план в XIX веке.
ЛАБИРИНТ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Греки основали геометрию и подчинили ей арифметику. Но благодаря алгебре постепенно арифметика стала независимой от геометрии,
В начале XIX века мрак математического анализа был почти абсолютным. Огюстен-Луи Коши (1789-1857) порвал с традицией бесконечно малых и переосновал анализ на понятиях предела и функции. Понятие функции было уточнено одновременно с развитием теорий дифференцирования и интегрирования. Но «Курс анализа» Коши, который увидел свет в 1821 году, строился на понятии непрерывности. Как вычисление пределов, так и работа с функциями требовали выверенного определения континуума чисел, на основе которого производились операции. Но что же представляет собой континуум? Доказательствам основных теорем анализа требовалось предварительное доказательство непрерывности прямой действительных чисел. Те, кто преподавал анализ, не знали верных доказательств теорем и пытались сделать так, чтобы официальные мистические операции принимались на веру. Это происходило даже с базовой теоремой Больцано, гласящей, что если функция непрерывна на определенном отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где эта функция равна нулю. Нечто подобное происходило в то время и с геометрией, и именно Гильберт прояснил понятие непрерывности.
В середине XIX века основная проблема состояла в том, чтобы построить действительные числа (континуум) на основе рациональных чисел, поскольку было известно, как построить последние на основе целых, а целые — на основе натуральных. Натуральные, целые, рациональные, действительные... всю математику. В 1872 году были предложены несколько теорий построения действительных чисел. Во-первых, это теория действительных чисел: ее смогли воспроизвести на основе конспектов занятий Вейерштрасса, который идентифицировал каждое действительное число с бесконечной суммой рациональных чисел. Во-вторых, это теория Кантора, аналогичная теории Шарля Мерэ (1835-1911), в которой каждое действительное число — предел последовательности рациональных чисел. И наконец, это теория Дедекинда, в которой действительное число — всего лишь сечение, оно подразумевает разделение всех точек прямой на два класса: расположенные слева и справа от сечения. Для любого сечения на прямой всегда есть действительное число, которое делит прямую на две части. Если Платон утверждал, что бог вечно геометризует, то Дедекинд объявил, что человек вечно арифметизирует. Все числа свелись, по сути, к натуральным. Это настоящий интеллектуальный подвиг. Но что такое натуральные числа?
ЛОГИКА КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КЛЮЧ К МАТЕМАТИКЕ
Поскольку арифметика напоминала дерево, которое безустанно растет вверх, в то время как его корни уходят вглубь, возникло первое течение, связанное с основаниями, — логицизм. Познакомимся с ним и с его первым идеологом, Готлобом Фреге (1848-1925). Этот немецкий математик отстаивал идею, что вся математика базируется на натуральных числах. Но как их построить? Ключ был, по его мнению, в области логики.
Всю жизнь Фреге был угрюмым преподавателем в Йенском университете. Учеников у него было так мало,
Традиционная логика пребывала не в лучшем состоянии, несмотря на то что, по-видимому, исчерпала себя еще при Аристотеле. Но логика начала лукавить с математикой. Раймунд Луллий (1232-1315) в Ars Magna и Хуан Карамуэль (1606— 1682) в Mathesis Audax задумали вид логической алгебры, в которой все рациональные истины понимались в рамках вида вычислений универсальной записи, названной Лейбницем как calculus ratiocinator. Философы больше не испытывали необходимости в полемике, иначе они решали бы их, как будто их можно вычислить. Они усаживались бы за свои столы, брали в руки перья и говорили друг другу: посчитаем! Эти семена проросли в алгебру логики, которую Джордж Буль (1815-1864) вывел в своих «Законах мышления» в 1854 году.
Но Фреге больше интересовался логикой алгебры, чем алгеброй логики, и в своей «Концептографии» формализовал логику пропозиций и предикатов (логику первого порядка), то есть рассуждений о некоторых объектах и свойствах, удовлетворяющих этим объектам, но не о свойствах, которые проверяют такие свойства (это епархия логики второго порядка). Позже в «Основах арифметики» (1884) он заложил базу программы логицизма, которую последовательно изложил в томах «Основных законов арифметики, выведенных концептографически» (1893-1903). Фреге утверждал, что логика предшествует математике и, следовательно, математические понятия должны быть сведены к логическим. Математика — лишь дополнение к логике.
Значит, арифметика была логикой в последней инстанции, и арифметические понятия должны быть проанализированы в чисто логических терминах: «вычислить значит вывести». Говоря словами Фреге, «арифметические предложения — это логические законы, хотя не первичные, а производные». Если упростить окаменелую строгость работ Фреге, в которых педантичности и точности поровну, можно сказать, что он пришел к определению чисел с помощью классов, то есть с помощью множеств, или ансамблей. Каждому натуральному числу соответствовал класс всех классов, которые были подобны (равномощны) заданному. Например, число 3 — это то, что есть общего у всех следующих классов: лепестки трилистника, цвета светофора и так далее. Таким образом, число 3 может быть идентифицировано классом всех этих классов. В целом Фреге идентифицировал число 0 с классом всех пустых классов, 1 — с классом всех одночленных классов, и так далее. И поскольку есть только одно пустое множество (которое обозначается как перечеркнутый кружок, здесь заменен ), 0 = . Тогда число 1 определяется как класс из всех классов, равномощных классу [], обладающий единственным элементом. Аналогично определялись остальные числа.
АКСИОМЫ ПЕАНО
В 1888 году Рихард Дедекинд опубликовал книгу с привкусом логицизма «Что такое числа и для чего они служат»(Гильберт прочитал ее в молодости). Однако Дедекинд определил натуральные числа принципиально иначе, чем Фреге. В 1889 году в книге под названием «Принципы арифметики, изложенные согласно новому методу» итальянский математик Джузеппе Пеано подтвердил аргументы Дедекинда, хотя и не был знаком с его работой, и определил натуральные числа посредством трех первоначальных понятий (нуль, функция последующего члена и равенство) и пяти аксиом.