ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

(q² + q + 1) (q - 1) = ?

"Неполный квадрат суммы, - подумал Илюша, - если его умножить на разность первых степеней, будет равен разности кубов. Все ясно. Но к чему это он ведет?"

Человечек Знаменатель хитро подмигнул Илюше, как бы говоря: "Сейчас узнаешь!" - и перед мальчиком появилось:

(q² + q + 1) (q - 1) = q³– 1.

"Ну конечно!" - подумал Илюша. Затем скобки немного раздвинулись, в них забрался еще человечек. Теперь получилось:

(q³ + q² + q + 1) (q - 1) = q⁴– 1.

– 194 -

"Ишь

ты!
– подумал Илюша.
– Как же так выходит?" Но когда он попробовал в уме перемножить скобки левой части, то убедился, что как раз так и получается. "Действительно, - подумал он, - когда я умножу q³ на q, то выйдет q³; когда умножу 1 на (- 1), то получится -1, а все остальное взаимно уничтожается, потому что от умножения на q всех членов, кроме первого, я получу q³, q², q и все будут с плюсом, от умножения на (-1) всех членов, кроме последнего, я получу те же q³, q², q, но все будут с минусами. Значит, только и останется q⁴ и - 1. Все верно!"

Тогда в скобки влез еще один человечек, и вышло:

(q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q - 1) = q⁵– 1.

Тут Илюша, рассуждая совершенно таким же образом, пришел снова к заключению, что и это тоже правильно.

А затем человечки стали так:

(q^n-1 + q^n-2 + ... + q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q - 1) = qⁿ– 1.

"Так, - подумал Илюша.
– Тут начинается с q^n-1. To-есть он хочет сказать, что это правило годится для любой степени".

Подумав немного, Илюша убедился, что Знаменатель совершенно прав.

Вслед за этим его новый приятель быстро схватил скобочку (q-1) и перенес в знаменатель правой части. Получилось:

q^n-1 + q^n-2 + ... + q⁴ + q³ + q² + q + 1 = (qⁿ– 1) / (q - 1).

Затем человечки быстро поменялись местами, и вышло:

1+ q + q²+ q³ + q⁴+...+q^n-2+ q^n-1 = (qⁿ– 1) / (q - 1).

Теперь человечек Знаменатель изобразил на своем личике самую приятную улыбку и снова показал получившуюся формулу Илюше, как бы приглашая его полюбоваться тем, что получилось.

Илюша внимательно посмотрел на формулу и подумал:

"Значит, налево стоит сумма геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице. И теперь он получил выражение для этой суммы".

Знаменатель улыбнулся и привел двух человечков, у которых на жилетках стояла цифра "3". Затем между ними возник знак равенства, а у левого человечка тройка заменилась буквой, и вышло:

a₁ = 3.

"Так!
– подумал Илюша.
– Ну, я уж это знаю: первый член равен тройке".

– 195 -

Тогда у обоих человечков

на жилетках появились одинаковые буквы. Человечек Знаменатель поставил одного к левой части своего равенства, а другого - к правой, и вышло:

a₁(1+ q + q²+ q³ + q⁴+...+q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ– 1) / (q - 1).

"Обе части он умножил на первый член прогрессии, - подумал Илюша.
– Это можно, конечно. Ну, и что ж у нас теперь вышло? Эх! Да это теперь как раз и получилась сумма всей прогрессии!"

В это время появилась какая-то длинная пожилая дама, которая взглянула на Илюшу с возмущением и пожала в ужасе плечами. По-видимому, это была очень нервная особа, потому что человечек Знаменатель обращался с ней до крайности предупредительно. Он подвел ее к своему равенству.

Рыжая дама горестно вздохнула, и на груди ее смутно вырисовалась буква S. "Сумма!" - подумал Илюша, а человечек Знаменатель сочувственно кивнул ему, как бы говоря:

"Пренеприятная особа! Ну, да ведь ничего не поделаешь!"

И получилось следующее равенство:

S = a₁(1+ q + q²+ q³ + q⁴+...+q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ– 1) / (q - 1).

= а, с чем Илюша не мог не согласиться, а затем вся серединка формулы исчезла, и появилось окончательное выражение суммы:

S = a₁ (qⁿ– 1) / (q - 1)

– 196 -

Илюша громко и отчетливо произнес:

– Для того чтобы найти сумму геометрической прогрессии, нужно первый член прогрессии умножить на дробь, числитель которой равен разности между знаменателем прогрессии в степени, равной числу членов, и единицей, а знаменателем этой дроби является разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:

S = a₁ [qⁿ / (q - 1) - 1 / (q - 1)]

а потом открыл скобки:

S = a₁qⁿ / (q - 1) - a₁ / (q - 1)

А вслед за тем Знаменатель еще раз поглядел на Илюшу и важно поклонился ему.

На лице его было написано полное удовлетворение всем происшедшим.

Рыжая дама сжала свои костлявые пальчики и смиренно посмотрела вверх. Илюша тоже машинально поглядел вверх и вдруг увидел, что на маленьком парашютике спускается крохотный, с кулачок, плюшевый Мишка.

Мишка спустился, встал на задние лапки и сказал Илюше, что его зовут Эн.

– Значит, ты число членов прогрессии?

– Угадал!
– пискнул Мишка.

Вслед за этим началось акробатическое представление. Рыжая дама, стараясь не глядеть на Илюшу, стала слева. За ней в воздухе повис знак равенства. Затем Знаменатель повесил в воздухе две большие дробные черты, между ними приладил длинный тонкий минус. При этом он вдруг три раза щелкнул пальцами и превратился из одного человечка Знаменателя в троих, совершенно одинаковых. Один из них забрался на первую из двух дробных черт, рядом с первым членом прогрессии.