ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

– Ну конечно, во втором ряду будет вдвое...

Но тут почему-то Илюша замолчал, и на его лице изобразилось полнейшее недоумение.

– Ну-с, - сказал Радикс, - я вас слушаю! В котором ряду будет больше, в верхнем или в нижнем?

Илюша грустно вздохнул и сказал:

– Должно быть во втором ряду вдвое меньше, а на самом деле...

– А на самом деле?
– повторил вопросительно Радикс.
– Да что тут долго думать! Вон они, посмотри-ка!

Илюша обернулся, посмотрел на стену и увидел:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28...

Оба ряда тянулись вправо ужасно далеко, но как ни заглядывал Илюша вправо, как он ни напрягал зрение, оба они шли совершенно вровень, а конца им не было.

–

Так как же?
– опять спросил Радикс.

– 208 -

– Выходит, что их - и тех и других - одно и то же количество.

Илюша пожал плечами.

– Не понимаю!
– сказал он.
– Вижу, что одно и то же количество, и соображаю, что сколько ни тяни верхний ряд, нижний от него отставать не будет, потому что нижний - это тот же верхний, только умноженный на два, но понять не могу.

Не могу, потому что нижний в то же самое время есть часть верхнего. Но ведь часть меньше своего целого?

– Меньше, покуда речь идет о числах, о конечных величинах. А раз ты имеешь дело с бесконечностью, то, как ты сейчас сам видишь, это не так. Там вовсе не обязательно, чтобы часть была меньше своего целого. В данном случае часть совершенно такая же, как и ее целое. И это странное целое можно еще по-разному разбить на части, и опять получится то же самое. Великий Галилео Галилей в книге, которая называется "Беседа о двух новых науках" и которая вышла б свет в тысяча шестьсот тридцать восьмом году, задает примерно такой вопрос: "Верно ли будет, если я скажу, что количество правильных квадратов, как "четыре", "девять", "шестнадцать", "двадцать пять" и так далее, меньше количества всех чисел, поскольку число правильных квадратов непрерывно и очень скоро убывает по мере того, как мы двигаемся вперед по натуральному ряду чисел по направлению ко все большим и большим числам? Для примера укажу, что в первой сотне я насчитываю десять квадратов, что составляет одну десятую всех чисел до сотни включительно; затем до десяти тысяч их будет сто, то есть одна сотая, а до миллиона их будет одна тысячная и так далее". Поскольку это так, то несомненно правильно, что в любом конечном числе квадратов будет гораздо меньше, чем всех чисел, и чем оно будет больше, тем относительно их будет меньше. Однако, как только мы переходим к бесконечности, оказывается, что я могу все это рассмотреть совершенно с другой точки зрения. Напишем вот таких два ряда:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144...

Под каждым числом натурального ряда я подписываю во втором ряду его квадрат, и оба ряда будут тянуться вровень без конца. "Поэтому, - говорит далее Галилей, - нельзя сказать, которых чисел больше, которых меньше. Можно только сказать, что их бесконечное множество - и тех и других". Свойства конечных чисел, таким образом, на бесконечные множества распространять невозможно.

– 209 -

Из этого луча можно сделать два луча.

– Все это так, - медленно произнес Илюша, - а понять все-таки очень трудно.

– Ничего удивительного здесь нет, - отвечал Радикс, - что тебе вся эта задача кажется такой трудной.

Современные ученые полагают, что она была настолько трудна для современников Галилея, что не столько привлекла их внимание к этим тонким вопросам, сколько отпугнула их своей необычностью и необъяснимостью. Но не торопись, кое-что можно будет тебе разъяснить в дальнейшем.

– Хорошо бы...
– отвечал наш герой.

– Трудность здесь заключается в том, что мы не можем пересчитать числа в том и другом ряду. Так как это невозможно, то нам остается только подумать, нельзя ли найти какой-нибудь способ сравнивать друг с другом бесконечные множества.

И вот что тут можно предложить.

Представь

себе, что ты пришел в школу на вечер. Собралась масса мальчиков и девочек. Зал большой, страшная толкотня, а тебе хочется узнать, кого больше: мальчиков или девочек? Сколько тех и других, тебя не интересует. Ты хочешь только выяснить, кого больше. Как это сделать? Самое простое - попросить оркестрантов, чтобы они заиграли вальс. Тотчас же все станут парами, и тут ты увидишь, кого больше. Теперь ты видишь, что я и применяю этот самый способ к бесконечным множествам, например ко множеству всех чисел и множеству квадратов: сопоставляю их попарно, а раз это удается, значит, что никакой разницы между множеством всех чисел и множеством квадратов в отношении количества их элементов нет.

– 210 -

Но только математики говорят в таких случаях не "количество" элементов, а так: эти два множества имеют "одинаковую мощность" [16] .

– А теперь уже мне кажется, что всякие два бесконечных множества будут иметь одинаковую мощность!
– сказал Илюша.
– Если я, например, начну располагать в ряд элементы одного из них, а ты в это время будешь делать то же самое с другим, то выйдет, что мое и твое множества одинаковой мощности, как если я буду перебирать подряд все числа, а ты одновременно со мной только все четные.

16

1 Наш дорогой читатель хорошо сделает, если постарается раздобыть книжку Н. Я. Виленкина "Рассказы о множествах", М.,"Наука", 1965

Книжечка небольшая (128 стр.), не очень легкая, но одолеть ее вполне возможно. Там рассмотрены те же примеры, что и здесь приводятся, но есть и еще более интересные и сложные.

– Нет, - ответил Радикс, - не все бесконечные множества можно так исчерпать. Например, если взять множество всех точек на отрезке прямой, то его таким способом исчерпать нельзя. У нас говорят, что оно имеет "более высокую мощность", чем множество, например, всех натуральных чисел.

– По поводу точек на отрезке я вспоминаю, - сказал Илюша, - что ты мне говорил, будто из одного луча можно сделать два.

– Даже не два, а бесконечное множество. И это очень просто. Представь себе, что на твоем луче отложен отрезок, равный единице, потом еще один, и так до бесконечности. Перенумеруй по порядку эти отрезки, а затем, как хозяин Мишкиной гостиницы, из четных, сдвинув их вместе, сооруди один луч, а из оставшихся нечетных - другой. Потом можешь повторить это с каждым из них, и так столько раз, сколько тебе угодно. А если догадаешься, можешь и сразу начать так перераспределять эти единичные отрезки, чтобы получилось бесконечное число лучей.

– Но если конечный отрезок разделить пополам, в каждой части будет вдвое меньше точек, чем в целом отрезке?

– Нет!
– ответил Радикс.
– Это снова тот же самый Мишкин неразменный рублик. В смысле "мощности" количество точек в целом отрезке и в его половине одинаково. Ты можешь в этом убедиться хотя бы так. Помнишь, что средняя линия треугольника равна...

– Половине основания!

– Вот именно. А теперь проведи из вершины противоположного угла прямые, соединяющие ее с точками основания.

Каждая из этих прямых пересечет и среднюю линию в какой-нибудь точке. Вот и получится, что каждой точке основания отвечает при таком построении точка на средней линии.

– 211 -

– И все-таки основание вдвое длиннее! Как это объяснить?

– Ты забываешь, что точки "не имеют длины" и длина отрезка вовсе не слагается из "длин" составляющих его точек.

Поэтому к длинам отрезков сравнение мощностей здесь никакого отношения не имеет.

– Я не пойму, - сказал Илюша.
– Ведь отрезок состоит из точек, а точка не имеет длины. Откуда же берется в таком случае длина отрезка?