ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

– И никогда его не достигает!
– воскликнул Илюша.

Ахиллес, и некая безвестная черепаха состязаются в беге. Черепаха находится вначале на расстоянии ста шагов впереди Ахиллеса, а ползет она в десять раз медленнее его. Все очень просто. Когда Ахиллес пробежит указанное расстояние, черепаха успеет проползти еще десять шагов. Когда Ахиллес пробежит эти десять шагов, черепаха окажется еще на один шаг впереди. Когда Ахиллес пробежит этот шаг, то черепаха, очевидно... Ну, ты и сам видишь - процесс бесконечный, а следовательно, как ты это только что сказал, Ахиллес "никогда" но догонит черепаху.

– Как так?
– спросил Илюша.
– Ясно, что Ахиллесу надо будет пробежать... сколько же это выходит? .. всего сто одиннадцать шагов, чтобы догнать черепаху...

– Твое слово "никогда", видишь

ли, нехорошо в этом случае по той причине, - пояснил Радикс, - что на самом дело ты ведь не имеешь в виду времени, а хочешь только сказать, что в разложении процесса на этапы придется иметь дело с бесконечным числом этих этапов. К фактическому осуществлению вращения наклонной, протекающему в конечный промежуток времени, или к движению Ахиллеса это прямого отношения не имеет. Нас здесь интересует не время, а именно последовательные этапы процесса. Их удобнее всего было бы просто нумеровать: первый этап, второй и так далее, вовсе не упоминая о времени. Если тебе придет в голову разлагать какой-нибудь действительный процесс движения на такого рода этапы, то это будет только воображаемая операция.

– 219 -

И при подсчете времени, например, надо будет учесть, что действительное движение вовсе не обязано считаться с этим разложением и может проскочить через все твои этапы за конечный промежуток времени. Конечно, это все не очень простые вещи. Здесь есть над чем подумать, но мы пока ограничимся этим...

– Ограничимся? То есть как это ограничимся?
– снова окрысился командор.
– Ведь молодой человек сказал же, что переменная величина (помнится, там шла речь об угле) никогда не достигает своего предела...

– Но теперь я буду это понимать в том смысле... – заторопился Илюша.

– Ни в каком смысле это не верно, молодой человек! Вот рассмотри такое движение наклонной.

Из ее основания по другую сторону основного отрезка я восстановлю к нему перпендикуляр, а около него построю полуокружности одинакового радиуса, с центрами на этом перпендикуляре: одну по одну сторону от него, а следующую, соседнюю с ней снизу, - по другую, и так змейкой все дальше и дальше. Теперь вообрази себе прямую, которая все время проходит через основание этого перпендикуляра и через меняющую свое положение вторую точку, а та, в свою очередь, пробегает построенную тобой змейку сверху вниз. Что будет происходить с этой прямой?

– 220 -

– Она начнет поворачиваться сначала в одну сторону, потом немного меньше в другую, потом опять в ту...

– Вот теперь и проследи, хотя бы для сравнения с наклонной, за верхней частью этой твоей прямой: она будет колебаться около перпендикуляра. И, как ты думаешь, в пределе, когда точка по змейке будет удаляться все дальше и дальше, что же ты сможешь сказать об угле, который образует эта прямая с основным отрезком?

– Этот угол будет стремиться к прямому как к своему пределу, - отвечал Илюша.
– Каждый раз, когда точка на змейке будет попадать на перпендикуляр, этот угол будет прямым... Но в конце концов...

– Если точка будет двигаться по змейке, то никакого конца концов тут нет. Только колебания около перпендикуляра будут, как говорится, затухать. Но ты мог бы прекратить строить змейку в каком-нибудь месте и заставить точку бежать дальше по перпендикуляру. Тогда у тебя прямой угол появился бы на соответствующем этапе процесса. И дальше он так бы и оставался прямым на всех дальнейших этапах бесконечного удаления точки вниз по перпендикуляру. И в этом случае ты можешь сказать, что в пределе угол, за изменением которого ты следил, будет равен прямому. В последней нашей схолии мы еще покажем тебе нечто в этом роде.

А вслед за этим командор улетел в неизвестность.

– Только вот чего я еще не понимаю, - сказал, вздыхая, Илюша.

– Ты говоришь, что в случае с Ахиллесом и черепахой мы только воображаем разложение процесса на бесконечное количество этапов и что действительное движение происходит непрерывно, без всяких этих этапов. Тогда зачем же такие разложения рассматривать?

– Видишь ли, - ответил Радикс, - на этот вопрос я тебе сейчас коротко ответить не

могу. Дальше мы познакомимся с очень важными задачами, в решении которых бесконечные процессы играют основную роль. Тебе дана некоторая конечная величина; ты начинаешь как бы "исчерпывать" ее, и при этом столь ничтожными частицами, что в пределе действительно приходишь к полному ее "исчерпанию". Такое "исчерпание" конечной величины как раз и является одним из самых сильных средств математики, владея которым она и справляется с вопросами, относящимися к непрерывно изменяющимся переменным. Сейчас я могу только привести еще один, уже немного знакомый тебе пример, в котором оказывается полезным способ представления конечной величины в виде предела суммы неограниченно возрастающего числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю.

– 221 -

– Как это может быть?
– спросил Илюша.
– Если каждое слагаемое стремится к нулю, то, по-моему, и их сумма...

– Ты забываешь, что их число неограниченно возрастает.

Начнем с простейшего случая. Представь себе, что единицу ты разделишь сначала на две части, возьмешь сумму этих двух дробей и получишь опять единицу. Но совершенно такой же результат получится, если разделить единицу на три части и сложить полученные три дроби, и так далее. Если ты произведешь деление на и равных частей, то каждая из них выразится дробью 1/n, а при неограниченном возрастании n будет бесконечно малой. Но если при каждом значении и составлять сумму и таких дробей, то все время будет получаться единица.

– Единица и есть единица. К чему же разбивать ее на части и потом опять собирать ее в целое из этих частей?
– спросил Илюша.

– Представь себе, что часто, и притом в очень важных вопросах, именно этот способ и оказывается чрезвычайно мощным средством, но только, конечно, он применяется не в слишком уж простом виде. Вот послушай, я приведу тебе пример немного посложнее. Ты, конечно, помнишь, что отношение длины окружности к ее диаметру равно числу π. Так что длина круга с радиусом r будет выражаться числом 2πr. Представь себе, что формула для нахождения площади круга тебе неизвестна. Разбей весь круг на большое число - назовем его опять n - маленьких секторов, разделив окружность на n равных маленьких дужек и соединив точки деления с центром.

Каждый из этих секторов будет при неограниченном увеличении и все больше и больше напоминать равнобедренный треугольник, основание которого очень мало и почти сливается с дужкой, ограничивающей этот сектор. А сумма их площадей будет ведь все время оставаться равной все той же площади круга, совсем как в нашем первом примере.

– 222 -

Однако смысл всего этого в том, что площадь очень узенького сектора можно со все большей и большей точностью вычислять по формуле для площади треугольника, умножив основание - длину дужки - на половину высоты, то есть на половину радиуса. А если теперь собрать снова все это в одно целое, то достаточно умножить сумму длин всех дужек, то есть 2πr, на половину радиуса, и получится выражение для площади круга - πr². Если ты интересовался не всем кругом, а только каким-нибудь его сектором, ограниченным дугой длиною l, то можно найти площадь такого сектора, умножив l на половину радиуса. Выходит, что ты действительно можешь совершенно точно получить площадь сектора по формуле площади треугольника, принимая длину дуги за основание, а радиус за высоту. Но сектор с большим центральным углом совсем не похож на треугольник, и ты смог прийти к этому результату здесь только потому, что предпринял то самое деление площади, которое казалось сперва совершенно бессмысленным. Разумеется, эти рассуждения мы провели схематично, в общих чертах; если их немного уточнить, то мы могли бы сказать, что площадь круга определяется нами как предел суммы площадей бесконечно возрастающего числа треугольников, боковые стороны которых равны радиусу, а основания равны неограниченно уменьшающейся хорде маленьких секторов. Ну, а теперь уж, - промолвил в заключение Радикс, - можно, пожалуй, сказать, что у нас в этом трудном вопросе в первом приближении все более или менее в порядке...