Волшебный двурог

Бобров Сергей Павлович

(х — 5) (х² — х + 7) = 0.

Затем ты приравниваешь нулю трехчлен во второй скобке и решаешь квадратное уравнение. Так мы найдем два комплексных корня. А для общего случая есть специальная формула, открытая в шестнадцатом веке итальянским математиком Тарталья, хотя ее чаще называют формулой Кардана, по имени другого математика, современника Тартальи, который ее впервые опубликовал. История этого Тартальи весьма поучительна. В начале шестнадцатого века его родной город Брешиа взяли приступом неприятельские войска. Тарталья, шестилетний мальчик, был найден с разрубленным лицом около бездыханного тела своего отца. Из-за этой раны он так и остался заикой на всю жизнь, а «тарталья» как раз и значит «заика» — это не имя его, а прозвище. Мать его после кончины отца осталась в такой

нищете, что взяла своего сынишку из школы, как только он выучил азбуку до буквы «к». Но мальчик горячо любил науку и сам выучился грамоте, потом древним языкам, без которых в то время нельзя было учиться дальше, а затем овладел математикой. А ведь он был до того беден, что даже не мог купить себе бумаги для вычислений и проделывал их на плитах старого кладбища! Тем не менее он стал ученым и сделал немало для алгебры [28] . Вот какая замечательная настойчивость!

28

Об этом подробнее смотри в Схолии Девятнадцатой.

— Как наш Ломоносов!

— Правильно! — отвечал Радикс. — Великий был человек Ломоносов. И не зря он выразил уверенность, «что может собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов Российская земля рождать».

— А почему он вспоминает Платона?

— Потому что Платон тоже занимался математикой и очень ценил ее. Из его сочинений извлечено теперь много данных о древней науке [29] . Полагают, например, что он дал определение понятию геометрического места. Добавлю, кстати, что кубическая парабола — немаловажная в технике кривая. Например, когда строители железных дорог рассчитывают поворот пути так, чтобы поезд на большой скорости плавно повернул по рельсам, то это закругление нужно рассчитывать именно по кубической параболе.

29

В книге Ван-дер-Вардена «Пробуждающаяся наука» в главе VI «Век Платона» много интересного.

— 379 —

— Мне еще хочется узнать про максимумы, — попросил Илюша. — Это очень трудно — их определить?

— Да нет, — отвечал Радикс, — не так уж трудно. Давай возьмем пример. Допустим, имеется прямоугольник. Какие надо взять стороны у прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей, если сумма этих двух сторон равна восемнадцати?

— Плохо я что-то понимаю эту задачу! — заметил Илюша.

— Ты слушай, — отвечал Радикс, — и постепенно уразумеешь. Начнем вот с чего. Пусть наши стороны-множители будут а и b, а их сумма будет с, то есть

а + b = с.

Теперь возьмем квадраты их суммы и разности и вычтем один из другого:

(а + b)² = а² + 2ab + b² — (а — b)² = а² — 2ab + b² – ----------------------------- (a + b)² — (a — b)² = 4ab

Так как (а + b) равно с, то мы можем написать:

с² — (a — b)² = 4ab,

или

так еще:

ab — c²/4 — (а — b)² / 4

Отсюда ясно, что поскольку с есть величина постоянная, то произведение ab изменяется только в зависимости от изменения разности (а — b), но так как квадрат этой разности с минусом, то ясно, что это произведение тем больше, чем меньше абсолютная величина разности (а — b). Следовательно, произведение двух чисел тогда достигает максимума, когда абсолютная величина их разности достигнет минимума. Тебе это ясно?

— Как будто ясно.

— Ну, поехали дальше! Давай назовем игреком искомое произведение. А части его — одна будет икс, а другая…

— А другая будет восемнадцать минус икс, — подсказал Илюша.

— Верно. Следовательно, игрек будет записан так:

y = x(18 — x)

— 380 —

Теперь возьмем разность наших множителей. Назовем ее игрек со штрихом, то есть игрек-штрих:

y' = x — (18 — x)

Так как мы хотим, чтобы этот игрек-штрих стал минимальным, то поищем, чему должен равняться икс, если игрек-штрих станет нулем. И напишем:

х — (18 — х) = 0;

х — 18 + х = 0;

2х = 18;

х = 9.

Произведение достигает максимума, когда одна его часть равна девяти, а следовательно, и другая тоже равна девяти. Другими словами, максимальную площадь из всех прямоугольников с одинаковым периметром имеет квадрат. Составим табличку. В третьей графе ее стоит не самая разность, а ее абсолютная величина. Дальше девяти табличку продолжать не стоит: все будет симметрично повторяться в обратном порядке.

x	18 —x	x — (18 —x)	x (18 —x)
1	17	16	17
2	16	14	32
3	15	12	45
4	14	10	56
5	13	8	65
6	12	6	72
7	11	4	77
8	10	2	80
9	9	0	81

Из двух последних столбцов видно, что когда множители равны, то их разность, как и полагается, равна нулю, а произведение их становится наибольшим, то есть достигает максимума.

— Так, — сказал Илюша. — Действительно, если продолжить табличку и иксу дать значение «десять», то другой множитель будет равен восьми и произведение пойдет на убыль в обратном порядке. Действительно, максимум!

— А теперь давай начертим график нашего уравнения: