Волшебный двурог, Бобров Сергей Павлович

Волшебный двурог

на обложку

Бобров Сергей Павлович

Шрифт:

Повозившись немного, Илюша извлек корень и сказал:

— Да, вот уж с корнем-то ясно, какая получается значительная экономия времени! А тут разделил на два — и все. А если надо кубический корень извлечь? С кубическим совсем заплачешь… Впрочем, постой-ка! Ведь с этой табличкой можно, наверно, и кубический корень попробовать извлечь. Если я возьму, например, число 262144 и извлеку из него кубический корень?.. Значит, нужно восемнадцать разделить на три. Получаю шесть. А шести соответствует число шестьдесят четыре. Проверим! Шестьдесят четыре в квадрате, как я уже выяснил, равняется 4096. Ну, а если я умножу это число еще раз на шестьдесят четыре?.. Совершенно верно. Ведь так можно, пожалуй, и четвертой степени

корень извлечь? Правильно? Извлекаю корень четвертой степени из числа 1 048 576… и получаю тридцать два. А ну-ка, проверим! Тридцать два в квадрате будет 1024, а 1 024 в квадрате — 1048576. Да это замечательный способ! А что такое основание логарифмов?

— В нашей табличке основанием будет два. Это то число, степень которого ты видишь во втором столбце. Общий принцип сопоставления двух прогрессий, арифметической и геометрической, был известен еще Архимеду. Это, конечно, не значит, что Архимед представлял себе смысл логарифмов, но для математиков нового времени его замечания могли иметь известное значение.

— 363 —

— Теперь я понимаю, что значит эта фраза: «Логарифм какого-нибудь числа есть показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить это число». В нашей табличке основание есть двойка, первый столбец — это логарифмы, а второй — числа. Ну, а чем же отличаются настоящие таблицы логарифмов от этой?

— Только тем, что у них основание не два, а десять.

— Так это очень просто! — вскричал Илюша.

— Несложно, если не считать того, что во втором столбце стоят не только точные степени десяти, но и все промежуточные числа, — отвечал Радикс. — А записываем мы это так:

log232 = 5,

то есть: «Логарифм тридцати двух при основании два равен пяти». А при основании десять тот же самый логарифм будет равен:

1,50514997831990597607,

с точностью до девятнадцатой цифры после запятой.

— А можно перейти от одного основания к другому? — спросил Илюша.

— Это нетрудно, — отвечал Радикс. — Если ты разделишь двоичный логарифм на десятичный логарифм, то получишь так называемый модуль перехода, с помощью умножения на который из любого десятичного логарифма получишь двоичный. В данном случае этот модуль будет примерно равен 3,3219. Вывести общее правило для получения модуля перехода тоже дело нехитрое. Раз ты умеешь из старого основания а получать любое число, то задача, очевидно, сводится к тому, чтобы из нового основания b получить старое основание а.

Но для этого новое основаниеb надо возвысить в степень с показателем…

— Логарифм a при основании b, — отвечал Илюша.

— Правильно. Значит, если возвести новое основание в степень logba, то будет а. Ну, а если нужно получить какое-нибудь число N, в какую степень ты должен возвысить полученное число а?

— В степень, показатель которой есть логарифм этого числа N при основании а, то есть logaN.

— Так. Значит, чтобы из b получить N, нужно сначала возвысить b

в степень logba, а потом результат возвысить в степень loga N. Но при возвышении степени в степень показатели перемножаются, следовательно, можно сказать, что для получения числа N надо возвысить основание b в степень с показателем

logba · logaN.

— 364 —

Это и есть, стало быть, логарифм числа N при основании b, и ты можешь написать

logbN = logba · logaN

Значит, logba и есть модуль для перевода логарифмов при основании а в логарифмы при основании b. Он есть не что иное, как логарифм «старого» основания а по «новому» основанию b. Ну, а теперь попробуй сообразить, какая бы вышла таблица, если бы вместо основания «два» мы взяли основание «восемь» (см. таблицу).

— Основание увеличивается… значит, против единицы в первом столбце будет стоять теперь уж не два, а восемь… Ну, так, значит, логарифмы уменьшатся. Вот какая будет тогда табличка. И действительно, так и выходит: здесь множитель 1/3 есть логарифм «старого» основания «два» по «новому», то есть по основанию «восемь». А если бы от этой новой таблички надо было перейти к логарифмам с основанием «два», то пришлось бы множить на три, а три и есть логарифм восьми по основанию «два».

— Правильно, юноша! Ну вот, как видишь, штука не такая хитрая. А польза от логарифмов очень большая. Представь себе, что надо извлечь из семи корень шестьдесят седьмой степени. Как ты это сделаешь? А с логарифмами это несложное дело. Взял таблицы, нашел логарифм семи, разделил его на шестьдесят семь, потом нашел опять в таблицах число, соответствующее частному от деления, — вот и готово!

— Интересно! — сказал Илюша, — А сколько будет корень шестьдесят седьмой степени из семи?