Волшебный двурог

Бобров Сергей Павлович

и окончательно:

2/3 n² — (1/2)n

Теперь я буду давать в этой формуле числу и значения 1, 2, 3… и до n включительно. Суммы тогда будут равны по окончательному написанию:

3/2 · 1² — 1/2 · 1

3/2 · 2² — 1/2 · 2

3/2 · 3² — 1/2 · 3

………

………

3/2 · n² — 1/2 · n

Сложив

все это столбиком, получаю для всех полос:

3/2 · S₂ — 1/2 · S

где S₂ есть сумма квадратов первых и натуральных чисел, а S — сумма их первых степеней. Приравнивая, как и ранее, сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:

3/2 · S₂ — 1/2 · S = n²(n + 1) / 2

— 350 —

а отсюда определяю, чему равняется S₂ и после ряда несложных переделок, которые, конечно, ты и сам не откажешься выполнить, получаю сумму квадратов первых и натуральных чисел, которая будет:

S₂ = (2n + 1)(n + 1)n / 6.

Советую тебе еще написать в клетках шашечницы пифагорову таблицу умножения и по ней найти, чему равна сумма кубов первых n чисел. Если же ты напишешь в клетках квадраты чисел пифагоровой таблицы, то сможешь найти и сумму пятых степеней. Однако нам пока это все, кроме суммы квадратов, не понадобится. Приступим теперь к вопросу об интегрировании. Допустим, что нам дана парабола, уравнение которой будет:

y = х²,

и нам нужно эту функцию проинтегрировать, или найти площадь, ограниченную параболой от начала координат до точки с абсциссой b, то есть площадь, ограниченную отрезком самой параболы, отрезком оси абсцисс и ординатой в точке х = b.

Для этого мы сначала делим интервал (то есть отрезок абсциссы) от нуля до b на n равных частей. Длина каждой такой части будет

h = b / n

Вся площадь теперь разбита на трапецоиды, ширина каждого из которых равна, как уже указано, b/n, а вышину мы определяем, согласно уравнению кривой, для последовательных точек параболы, как

h², 2²h², 3²h², … , n²h²,

ибо

ясно, что если х равен h, то у будет равен h² и так далее.

Но если это так, то площади последовательных прямоугольников, которыми мы заменяем наши трапецоиды, будут равны

hh², h2²h², h3²h², … hn²h².

— 351 —

Видно, что сумма прямоугольников больше, нежели сумма трапецоидов, но при безграничном увеличении числа n искомая площадь будет пределом суммы прямоугольничков, то есть пределом следующего выражения:

h(h² + 2²h² + 3²h² + … + n²h²) = h³(1² + 1² + 2² + 3² + … + n²) = b³/n³(1² + 1² + 2² + 3² + … + n²)

А так как шахматная доска уже объяснила нам, что сумма первых и квадратов натурального ряда равна

(2n + 1)(n +1)n / 6

то мы, подставляя это выражение в предыдущую формулу, после некоторых несложных переделок получим:

b³/6 (1 + 1/n)(2 + 1/n)

Спрашивается: что будет с этим выражением, если число n будет неограниченно возрастать? Ясно, что дробь 1/n будет неограниченно приближаться к нулю и ею мы можем пренебречь. В таком случае предыдущее выражение в пределе обратится в

b³/3

что и является результатом нашего интегрирования. Знай, что это один из первых интегралов, полученных человеком, что человека этого звали Архимед и что он рассуждал примерно так, как и мы.