Волшебный двурог
Шрифт:
Теперь заметим, что в точке А икс равен, допустим, некоторой величине ха, а игрек соответственно равен уa. Теперь увеличим немного икс, то есть дадим ему некоторое приращение. Тогда икс, соответственный точке В, будет равен хb, а игрек соответственно уb. Приращение икса будет равно xb — xa; приращение игрека yb — yа —
— 340 —
А и В. Если теперь поворачивать секущую около точки А по часовой стрелке, то в пределе она станет касательной. Построим треугольник ABC и рассмотрим, что с ним будет делаться, если поворачивать секущую около точки В. Очевидно, стороны треугольника убывают.
tg называется производной «ординаты кривой по абсциссе» в точке с абсциссой xa
Уменьшается сторона АС, а вместе с ней и сторона ВС, то есть уменьшается приращение той и другой переменных и уменьшается непрерывно. В рассматриваемых здесь случаях отношение АС и ВС стремится к некоторому пределу, а секущая занимает свое предельное положение относительно кривой, то есть становится касательной. Когда АС бесконечно уменьшается, то и ВС уменьшается таким же образом. Обе эти переменные бесконечно уменьшающиеся приращения величин суть бесконечно малые, и нам тут необходимо найти предел, к которому стремится их отношение. Очевидно, что оно будет равно тангенсу угла, который образует касательная с положительным направлением оси абсцисс. Этим вопросом занимается дифференциальное исчисление; и тангенс наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс называется производной данной функции. Зная производную той или иной функции, узнают, с какой скоростью изменяются ординаты кривой при изменении абсцисс, и можно изучить эту скорость. А этим способом исследуют очень- многие законы физики, механики и других естественных наук. На этом фундаменте и выросла наша современная техника.
— Это замечательно! — воскликнул Илюша. — Только я не пойму: к какой кривой приводит тот или иной закон физики?
— Видишь ли, когда этим занялся Исаак Ньютон, которого современники называли «счастливейшим из смертных» за его открытие закона всемирного тяготения, то он, изучая скорость, с которой изменяются ординаты данной кривой, поставил два чрезвычайно важных и вполне естественных вопроса. Он рассуждал так: если точка двигается с данной скоростью, это значит, что она в определенное время проходит некоторый путь. Будем называть икс временем, как это делал сам Ньютон. Тогда ординаты кривой дают нам пройденный путь. Вот, например, если поезд идет с постоянной скоростью сорок
— 341 —
километров в час, то за десять часов он пройдет 10 · 40 = 400 километров. Алгебраически это будет: скорость равна а, время равно х, пройденный путь у равен ах. Таким образом, уравнение пути будет у = ах. Это есть не что иное, как уравнение прямой линии. Если же скорость сама все время меняется пропорционально времени, то пройденный путь будет на чертеже изображаться не ординатой прямой, а ординатой параболы. Если же мы умеем построить к нашей кривой пройденного пути касательную, то тем самым можем определить скорость в каждой данной точке кривой или в любой момент времени. Таким образом, зная пройденный путь, мы находим скорость. Но можно поставить и обратную задачу; зная скорость, найти пройденный путь. Можно показать, что эта задача сводится к квадратуре кривой, то есть к определению ее площади, а это, как уже мы с тобой говорили, есть задача интегрирования. Так вот, таким путем Ньютон и выяснил, что нахождение касательной и определение площади суть действия, обратные друг другу, как обратны, например, возведение в степень и извлечение корня.
| Секунды по порядку | Скорость | Пройденный путь |
|---|---|---|
| 0 | – | 1 |
| 1 | 3 | 4 |
| 2 | 5 | 9 |
| 3 | 7 | 16 |
| 4 | 9 | 25 |
| 5 | 11 | 36 |
| 6 | 13 | 49 |
| 7 | 15 | 64 |
| 8 | 17 | 81 |
| 9 | 19 | 100 |
| 10 | 21 | 121 |
| 11 | 23 | 144 |
—
— Допустим, — продолжал Радикс, — что нам дано уравнение, которое показывает, какой скоростью обладает в каждый данный момент движущееся тело. Если мы сумеем сложить одну за другой все эти данные кривой моментальные скорости и получить их так называемую «начетную» кривую, то она и будет кривой пройденного пути. Могу тебе это показать на простеньком примере. Это не будет ни дифференцирование, ни интегрирование, но нечто очень похожее на то и на другое. Пусть некоторое тело движется с постоянным ускорением, равным двум сантиметрам в секунду, и пусть его средняя скорость в первую секунду равняется трем сантиметрам, а до этой секунды оно уже прошло один сантиметр. Требуется найти кривую пройденного пути. В таком случае нетрудно составить табличку. Кривая пройденного пути есть начет
— 342 —
ная кривая, то есть каждое число ее равно сумме всех предыдущих чисел кривой скорости, и, как легко заметить, она есть не что иное, как кривая квадратов натуральных чисел, то есть…
— Парабола! — ответил Илюша.
— Правильно! А наша кривая скоростей — это что, по-твоему?
— Это кривая нечетных чисел, то есть прямая.
— Верно!
— Я уже знаю, — продолжал Илюша, — что если складывать нечетные числа одно за другим, то получатся квадраты.
— Это правило было известно еще в древнем Вавилоне. Опираясь на него, Галилей и открыл, что падающие тела движутся по параболе.
— А если интегрировать линейную функцию, которая дает прямую, то получишь на чертеже параболу, — добавил Илюша.
— Вот и еще одно свойство параболы.
— И обратно, если искать производную от правой части уравнения, то получишь функцию, изображаемую на графике прямой линией. А что получится, если интегрировать уравнение параболы?
— Параболу третьего порядка, кубическую, и так далее. Но мы не будем останавливаться на этом, а поговорим об открытии Ньютона. Причем принцип, о котором мы говорим, был известен еще учителю Ньютона, замечательному английскому математику Барроу, однако значение этого принципа не было еще тогда ясно. Это было одно из самых удивительных открытий в математике. Но, мало этого, в дальнейшем выяснились еще более поразительные вещи. Оказалось, что в большинстве случаев закон изменения для бесконечно малых частиц кривой вообще гораздо проще, чем для конечных изменений! Кривая скоростей, как мы только что видели, проще кривой пройденного пути. В физике мы, изучая плотность неоднородного тела, из тех же соображений можем принимать, что в некотором неограниченном уменьшающемся кубике плотность эта остается постоянной. То же самое возможно при изучении распределения тепловой или электрической энергии, количества истекшей из сосуда жидкости и так далее. Если, например, надо вычислить длину дуги кривой, то рассматривают бесконечно малые отрезки дуги. А для бесконечно малых отрезков дуги можно считать, что на таком ничтожно малом отрезке кривая идет по прямой. А если так, то на бесконечно малом отрезке кривой строим прямоугольный треугольник, катетами которого будут бесконечно малые приращения икса и игрека, а гипотенузой — крохотный отрезок прямой, которым в бесконечно малом заменяют отрезочек
— 343 —
дуги. Но гипотенузу прямоугольного треугольника можно получить по теореме Пифагора, а дальше надо только сложить все эти бесконечно малые гипотенузочки, и получится в пределе точная длина кривой. Опыт показывает, что это путь правильный! Так как с первого взгляда все-таки довольно трудно понять, как это возможно, заменяя маленькую дугу отрезком прямой, прийти к правильным результатам, я приведу тебе одно очень полезное рассуждение Ньютона, которое называют микроскопом Ньютона. Допустим, что когда мы начертим все это, то катет АС равен двадцати пяти сантиметрам.