Загадки и диковинки в мире чисел

Перельман Яков Исидорович

Последняя строка первой из сейчас (стр. 86) рассмотренных пирамид:

12345678 × 9 + 9= 111111111

объясняет происхождение целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу:

Примем во внимание, что

12345678 × 9 + 9 = (12345678 + 1) × 9 = 12345679 × 9.

Поэтому

12345679 × 9 = 111111111.

А отсюда прямо следует, что

12345679 × 9 × 2 = 222222222

12345679 × 9 × 3 = 333333333

12345679 × 9 × 4 = 444444444 и т. д.

Цифровая лестница

Что получится, если число 111111111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно предвидеть, что результат должен быть диковинный, –

но какой именно? Если вы обладаете способностью отчетливо рисовать в своем воображении ряды цифр, то вам удастся найти интересующий нас результат, не прибегая к умножению на бумаге. Ведь, в сущности, здесь дело сводится только к надлежащему расположению частных произведений, потому что умножать приходится все время лишь единицу на единицу – действие, могущее затруднить разве лишь фонвизинского Митрофанушку, размышляющего о результате умножения «единожды один». Сложение же частных произведений сводится к простому счету единиц [23] . Приняв во внимание ступенчатое расположение этих девяти рядов единиц, мы легко можем найти – даже и не выписывая воспроизводимой здесь таблицы, – результат этого единственного в своем роде умножения (при выполнении которого не приходится нигде прибегать к действию умножения): 12345678987654321.

Все девять цифр выстроены в стройном порядке, симметрично убывая от середины в обе стороны. Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь эту галерею и перейти в следующее отделение арифметической кунсткамеры, где показываются фокусы и выставлены числовые исполины; я хочу сказать, – они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями из мира чисел, тех приглашаю осмотреть со мною несколько ближайших витрин.

Магические кольца

Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи? Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом. На каждом кольце написаны 6 цифр в одном и том же порядке, иначе говоря – написано одно и то же число: 142857

. Причина, заставившая поместить эти кольца в нашу арифметическую кунсткамеру, заключается в следующем удивительном свойстве их: как бы ни были повернуты кольца, мы при сложении двух написанных на них чисел – считая от любой цифры в направлении начерченной стрелки – во всех случаях получим… то же самое шестизначное число (если только результат вообще будет 6-значный), лишь немного подвинутое!

Магические кольца

В том, например, положении, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы имеем при сложении двух наружных колец:

т. е. опять-таки тот же ряд цифр: 142857, только цифры 5 и 7 перенеслись в начало.

При другом расположении колец относительно друг друга мы имеем, например:

Исключение составляет лишь единственный случай, когда в результате получается 999999 (складываемые цифры дополняют друг друга до девяти):

Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности мы получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах. Например:

Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры – тогда, разумеется, разность равна нулю. Но и это еще не все замечательные свойства нашего числа 142857. Умножьте его на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 – и вы получите, как и раньше, снова то же число, лишь передвинутое, в круговом порядке, на одну или несколько цифр:

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

Вы видите, что произведение отличается от умножаемого лишь порядком цифр: группа цифр, стоящих впереди, очутилась на конце.

Пора, однако, объяснить, чем же обусловлены все загадочные особенности этого числа. Мы нападем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число наше – не что иное, как седьмая часть 999999, т. е. дробь 142857/999999 = 1/7. И действительно, если вы станете превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите:

Наше загадочное число есть, следовательно, период бесконечной периодической дроби, которая получается при превращении 1/7 в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным 2/7 и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не 1/7, а 2/7 Начав же превращать дробь 2/7 в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2 – один из тех остатков, которые у нас получались уже при превращении 1/7: ясно, что должен поэтому повториться прежний ряд цифр частного, но он начнется с другой цифры; другими словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое должно произойти и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, т. е. на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить целую единицу, – т. е. 0,9999… если представить ее в виде бесконечной периодической дроби.

Любопытные результаты сложения и вычитания чисел на кольцах находят себе объяснение в том же факте, что 142857 есть период дроби, равной 1/7. В самом деле: что мы делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Мы переставляем группу цифр спереди на конец, т. е., согласно только что сказанному, мы умножаем число 142857 на 2, на 3, на 4 и т. д. Следовательно, все действия сложения или вычитания чисел, написанных на кольцах, сводятся к сложению или вычитанию дробей 1/7, 2/7,3/7 и т. д. В результате мы должны получить, конечно, несколько седьмых долей, – т. е. опять-таки наш ряд цифр 142857 в той или иной круговой перестановке. Отсюда надо исключить лишь случаи, когда складываются такие числа седьмых долей, которые в сумме дают 1 или больше 1.

Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда, не тождественный с рассмотренными ранее, но все же весьма сходный с ними. Рассмотрим внимательнее, какой результат должен получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, т. е. на 8, на 9 и т. д. Умножить 142857, например, на 8, мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (т. е. к 999999) прибавить наше число

142857 × 8 = 142857 × 7 + 142857 = 999999 + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1000000 + (142857 – 1).

Окончательный результат – 1142856 – отличается от умножаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна единица, а последняя цифра на единицу же уменьшена. По сходному правилу составляются произведения 142857 на всякое другое число, большее 7, – как легко усмотреть из следующих строк:

142807 × 8 = (142857 x 7) +142857 =1000000-1 + 142857=1142856

142857 × 9 = (142857 × 7) + (142857 × 2) = 1000000—1+ 285714= 1285713

142857 × 10 = (142857 × 7) + (142857 × 3) = 1000000-1 +428571 = 1428570

142857 × 16 = (142857 × 7 × 2)+ (142857 × 2) =2000000-2 + 285714 = 2285713

142857 × 39 = (142857 × 7 × 5) + (142857 × 4)=5000000– 5 + 571428 = 5571427

Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата [24] . Пусть мы желаем умножить 142857 на 86. Множитель 86 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения

12571428– 12= 12571416.

От умножения 142857 × 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52142857-52 = 52142803.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно – нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносно быстрым умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, запомним, что оно произошло от 1/7, или – что то же самое – от 1/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из девяти: