Загадки и диковинки в мире чисел
Шрифт:
Уже и сказанным можно непосредственно воспользоваться для выполнения несложного фокуса. Предложите товарищу задумать любое число; затем, переставив его цифры в ином, каком угодно порядке, вычесть меньшее число из большего. В полученном результате ваш товарищ зачеркивает одну цифру – безразлично какую – и читает вслух оставшиеся цифры; а вы сразу же называете скрытую от вас, зачеркнутую сумму. Как вы отгадываете ее? Очень просто: вы знаете, что результат должен быть кратен 9, т. е. сумма его цифр должна без остатка делиться на 9. Быстро сложив в уме прочитанные вам цифры, вы легко можете сообразить, какой цифры не хватает, чтобы сумма была кратна 9. Например: задумано число 57924: после перестановки получено 92457.
Но тот же фокус можно обставить гораздо более эффектно, именно так, чтобы отгадать число, ничего не спрашивая у загадчика. Для этого проще всего предложить задумать трехзначное число с неодинаковыми крайними числами; затем, переставив цифры в обратном порядке, вычесть меньшее число из большего; в полученном результате переставить цифры и сложить оба числа. Окончательный результат всего этого ряда перестановок, вычитания и сложения вы называете изумленному загадчику без малейшего промедления или даже вручаете ему заранее в заклеенном конверте.
Секрет фокуса прост: какое бы число ни было задумано, в результате перечисленных действий всегда получается одно и то же: 1089. Вот несколько примеров:
(Последний пример показывает, как должен поступать загадчик, когда разность получается двузначная.)
Всматриваясь внимательно в ход выкладок, вы, без сомнения, поймете причину такого однообразия результатов. При вычитании неизбежно должна получаться в разряде десятков цифра 9, а по сторонам ее – цифры, сумма которых = 9. При последующем сложении должна поэтому получиться на первом справа месте цифра 9, далее, от 9 + 9, цифра 8 и единица в уме, которая при сложении с девятью сотнями дает 10. Отсюда – 1089.
Если вы станете повторять этот опыт несколько раз кряду, не внося в него никаких изменений, то секрет ваш, разумеется, будет раскрыт: загадчик сообразит, что постоянно получается одно и то же число 1089, хотя, быть может, и не отдаст себе отчета в причине такого постоянства. Вам необходимо поэтому видоизменять фокус. Сделать это нетрудно, так как 1089 = 33 × 33 = 11 × 11 × 3 × 3 = 121 × 9 = 99 × 11. Достаточно поэтому просить загадчика, когда вы доведете его до числа 1089, разделить этот результат на 33, или на 11, или на 121, или на 99, или на 9, – и тогда лишь назвать ему получающееся число. У вас, следовательно, в запасе имеется 5 изменений фокуса, – не говоря уже о том, что вы можете просить загадчика также умножить сумму на любое чисто, мысленно выполняя то же самое действие.Мгновенное деление
Из многочисленных разновидностей фокусов этого рода опишем один, основанный на уже знакомом нам свойстве множителя, состоящего из ряда девяток: при умножении на него числа с таким же числом цифр получается результат, состоящий из двух половин: первая половина представляет собою умножаемое число, уменьшенное на единицу, вторая – результат вычитания первой половины из множителя. Например: 247 × 999 = 246753; 1372 × 9999 = 13718628 и т. п. Причину легко усмотреть из следующей строки:
247 × 999 = 247 × (1000 – 1) = 247000 – 247 = 246999 – 246.
Пользуясь этим, вы предлагаете целой группе товарищей произвести деление многозначных чисел – одному 68933106: 6894, другому 8765112348: 9999, третьему 543456: 544, четвертому 12948705: 1295 и т. д., – а сами беретесь обогнать их всех, выполняя те же задачи. И прежде чем они успеют приняться за дело, вы уже вручаете каждому бумажку с полученным вами безошибочным результатом деления: первому – 9999, второму – 87652, третьему – 999, четвертому – 9999. Вы можете сами придумать по указанному образцу ряд других способов поражать непосвященных мгновенным выполнением деления: для этого вам достаточно лишь воспользоваться некоторыми свойствами тех чисел, которые помещены в «Галерее числовых диковинок» (см. главу VI).
Любимая цифра
Попросите кого-нибудь назвать его любимую цифру. Допустим, вам назвали цифру 6.
– Вот удивительно! – восклицаете вы. – Да ведь это как раз самая замечательная из всех значащих цифр.
– Чем же она замечательна? – осведомляется ваш озадаченный собеседник.
– А вот посмотрите: умножьте вашу любимую цифру 6 на 9 и полученное число 54 подпишите множителем под числом 12345679:
Что получится в произведении? Ваш собеседник выполняет умножение – и с изумлением получает результат, состоящий сплошь из его любимых цифр:
6666666666
– Вот видите, какой у вас тонкий арифметический вкус, – заканчиваете вы. – Вы сумели избрать из всех цифр как раз ту, которая обладает столь удивительным свойством!
Но точно такой же изысканный вкус оказался бы у вашего собеседника, если бы он возлюбил какую-нибудь другую из девяти значащих цифр, потому что каждая из них обладает тем же свойством:
Почему это так, вы сообразите, если припомните то, что говорилось о числе 12345679 в «Галерее числовых диковинок».
Угадать день рождения
Фокусы, относящиеся к этой категории, могут быть изменяемы на разные лады. Опишу один из видов этого фокуса, довольно сложный, но именно потому и производящий эффектное впечатление.
Допустим, что вы родились 18 мая 1903 года и что вам теперь 20 полных лет. Но я не знаю ни даты вашего рождения, ни вашего возраста. Тем не менее я берусь отгадать то и другое, заставив вас проделать лишь некоторый ряд вычислений.
А именно: порядковый номер месяца (май, 5-й месяц) я прошу вас умножить на 100, прибавить к произведению число месяца (18), сумму удвоить, к результату прибавить 8, полученное число умножить на 5, к произведению прибавить 4, помножить результат на 10, прибавить 4 и к полученному числу прибавить ваш возраст (20).
Когда вы все это проделаете, вы сообщаете мне окончательный результат вычислений. Я вычитаю из него 444, а разность разбиваю на грани, справа налево, по 2 цифры в каждой: получаю сразу как день и месяц вашего рождения, так и ваш возраст.
Действительно. Проделаем указанные вычисления:
5 × 100 = 500
500+ 18 = 518
518 × 2= 1036
1036 + 8 = 1044
1044 × 5 = 5220
5220 + 4 = 5224
5224 × 10 = 52240
52240 + 4 = 52244
52244+ 20 = 52264Произведя вычитание 52264 – 444, получаем число 51820. Теперь разобьем это число на грани, справа налево, по две цифры в каждой. Имеем:
5-18-20,
т. е. 5-го месяца (мая), числа 18; возраст 20 лет.
Секрет нашего фокуса легко понять из рассмотрения следующего равенства:
Здесь буква т обозначает порядковый номер месяца, t — число месяца, п — возраст. Левая часть равенства выражает все последовательно произведенные вами действия, а правая – то, что должно получиться, если раскрыть скобки и проделать возможные упрощения. В выражении 10000 т + 100 t + п ни т, ни t, ни п не могут быть более чем двузначными числами; поэтому число, получающееся в результате, всегда должно, при делении на грани, по две цифры в каждой, распасться на три части, выраженные искомыми числами m,t и п. Предоставляем изобретательности читателя придумать видоизменения этого фокуса, т. е. другие комбинации действий, дающие подобный же результат.