Зеркальный мир

Гильде Вернер

Подобные сведения - и не только подобные - может почерпнуть статистик из нормального распределения. Всем нам есть чему поучиться у Гаусса. Как известно, при планировании и подведении итогов мы часто оперируем средними значениями. Средний годовой доход граждан составляет столько-то. Средний размер обуви мужской части населения такой-то. Среднее потребление пива такое-то и т. д. Однако такое среднее значение еще далеко не отражает истинного положения. Людям с особенно маленькими или особенно большими ногами известна даже песенка на эту тему. А что касается пива, то грудные младенцы, хотя и являются гражданами страны, его не потребляют. Получается,

что отцы должны пить за двоих, троих, а то и четверых, чтобы поддержать средний уровень на душу населения. Поэтому Юден с полным правом написал, что нормальное распределение «является незаменимым орудием для анализа и обработки данных». К непроанализированным средним значениям следует питать глубокое недоверие.

Давайте прикинем, какими средствами в среднем располагают американские миллионер и нищий. Ну, в простейшем случае миллионер обладает как минимум 1 млн. долларов, а нищий - О долларов. Легко вычислить среднее значение:

В старину симметрию в оформлении книг соблюдали даже в ущерб правописанию.

1 000 000 + 0/2 = 500000 долл.

Следовательно, средний американец должен был бы иметь 500 тыс. долларов. В чем тут ошибка?

Расчеты средних величин годятся лишь для больших чисел! Значит, 1000 миллионеров и 1000 нищих? Но и в этом случае вычисление не даст правильного результата:

1 000 000 - 1000 + 0 • 1000/2000 = 500000 долл.

Действительная ошибка заключается в том, что нищие и миллионеры располагаются на противоположных концах кривой распределения имущественного состояния народа. Между ними находятся 150 млн. человек, владеющих 10, 100 или 1000 долларами. И средняя величина или среднее значение лишь в том случае приобретает смысл, когда кривая нормального распределения учитывает все имущественные состояния. Не подлежит сомнению, что наблюдения над распределением состояний всех граждан США покажут, что такое распределение не является нормальным. Тут-то именно следует приняться за математический, экономический и политический анализ.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОШИБКИ С СИММЕТРИЙНОЙ ПОДОПЛЕКОЙ

< border="1"> Три одинаковых куска картона Стороны А В С Верхняя сторона красный красный белый Нижняя сторона красный белый белый

Решая математические задачи, имеющие (действительное или кажущееся) «симметрическое решение», мы быстро приходим к ответу. Примером такого рода задач может служить равномерное распределение разности между двумя величинами (то есть к каждой величине требуется прибавить половину этой разности).

Возьмем три одинаковых куска картона А, В и С. Закрасим А с двух сторон в красный цвет, С - в белый и В - с одной стороны в красный, а с другой в белый:

Теперь бросим все три картонки в мешок и вытащим одну из них. Не глядя на ее обратную сторону, положим картонку на стол. Допустим, перед нами красная поверхность. Так как один из кусков, С, выкрашен с обеих сторон в белый цвет, то мы видим либо кусок А (красный - красный), либо кусок В (белый- красный) красной стороной кверху.

И только тут возникает сама задача: как велика вероятность того, что, подняв лежащую перед вами картонку, вы увидите красную обратную сторону? Иными словами, какова вероятность того, что это картонка А₁ Вам, конечно, нет надобности долго раздумывать: раз речь идет о двух кусках картона, из которых один А, а другой не А, то решением (симметрическим) будет, разумеется, 1:1, или 50% к 50%. Но, к сожалению, наше «разумеется» ошибочно. Две картонки, между которыми надлежит сделать выбор, имеют следующие красные стороны:

картонка А - верхнюю,

картонка А -нижнюю,

картонка В - верхнюю (снизу она белая).

Одна из сторон обращена кверху с вероятностью 33,3%. Для картонки А эта вероятность, однако, удваивается (верхняя и нижняя стороны), а для картонки В - нет. Следовательно, с вероятностью 66,6% на столе лежит кусок А. Как видим, на основе этого рассуждения можно заключить выигрышное пари: ответ 1:1 столь импонирует большинству людей, что мысль о возможности другого решения им даже не приходит в голову.

Аналогичным образом построена задача о двух детях. Некто говорит: у меня двое детей. По крайней мере один из них - мальчик. Значит, другой - либо мальчик, либо девочка. Какова вероятность того, что второй ребенок - мальчик? Соображаем: в среднем девочек столько же, сколько и мальчиков. Следовательно, сразу же напрашивается ответ: вероятность будет равна 50%. Мы столь быстро склоняемся к такому ответу в силу его симметричности.

Однако правильный ответ мы получим, продумав все возможные комбинации в семье с двумя детьми.

Один ребенок всегда старше, другой моложе. Значит, возможны случаи ДСММ, МСДМ, МСММ, но невозможна комбинация Дс Дм, так как один ребенок является мальчиком по условию задачи. Среди трех возможных случаев лишь в одном второй ребенок - тоже сын, и соответственно вероятность этого составляет 33%. В 66% случаев второй ребенок будет девочкой, если только первый - определенно мальчик.

Математик Юден посвятил кривой Гаусса хвалебный гимн, придав тексту гимна форму такой кривой

Еще затруднительнее следующий вопрос: вы ищете величину А, заключенную между 90 и 110. Ее значение вам неизвестно. Требуется определить число, для которого ошибка в обе стороны будет минимальной (то есть симметричной). Вам, конечно, хотелось бы назвать число 100, так как оно находится посередине между 90 и ПО, но вы не доверяете себе, ибо есть основания полагать, что эта величина неверна (такое решение кажется слишком простым). Чтобы вычислить правильное значение, воспользуемся условием: ошибка сверху и снизу должна быть одинакова. Значит,

х-90/90 = 110-х/110

(х-90)110-(110-х)90,

110х - 9900 = 9900 - 90x + 90x + 9900,

200x = 19 800,

x=99

От 90 до 99 ошибка составляет 10%, и 11 от 110 тоже отвечает 10%-ной ошибке. Неожиданность полученного результата вытекает и из определения понятия «ошибка», и из нашей склонности обращаться к симметричным значениям.

«ТЫ ДОЛЖЕН ЦЕЛИКОМ ОТДАТЬ СЕБЯ ИСКУССТВУ!»

Это требование, естественно, выдвинуто не вполне всерьез. Пожалуй, лишь очень немногие действительно беззаветно отдаются искусству (любому его виду). Непременной предпосылкой к тому является профессиональное мастерство в музыке, литературе, живописи или какой-либо иной сфере искусства, далеко превосходящее уровень таланта. А если гений, отдаваясь своему искусству, способен еще и одерживать успехи на поприще экономики, то это означает, что он посвятил себя не только искусству. (Это не столько упрек, сколько констатация факта.)