Зеркальный мир
Шрифт:
Затем нас будет интересовать степень использования объема при упаковке. Цитрусовые поступают обычно с Балкан, из Африки или из других отдаленных южных краев. Перевозка их всегда стоит дорого. Поэтому фрукты должны быть упакованы не только хорошо (во избежание потерь), но и рационально, компактно (для сокращения транспортных расходов, чтобы не возрастали цены).
Возьмем ящики с помидорами. Простоты ради допустим, что все они имеют одинаково красивую форму и равную величину. Сделаем еще одно допущение - что стороны ящика имеют длину, кратную диаметру помидора. Потом возьмем и упакуем шары-помидоры так, чтобы они красиво улеглись в аккуратные прямые ряды, соприкасаясь между собой боками. В сущности говоря, упакованный подобным образом ящик сплошь состоит из квадратов, в которые вписаны круги. Площадь квадрата составляет 1Х1 = 1, если в качестве масштаба выбрать диаметр помидора. Площадь проекции помидора, напротив, равна лишь • 0,52 = 0,785. Соответственно площадь ящика использована для укладки помидоров только на 78,5%.
При
Однако на деле фрукты и овощи круглой формы бывают уложены иначе - не в прямые ряды, а в пустые гнезда. Первый ряд вдоль длинной стороны ящика касается этой стороны и прилегает к обеим ограничивающим его коротким сторонам. Пока все обстоит так же, как и в первом случае. Но второй ряд уложен в гнезда. Выигрыш очевиден и состоит в том, что помидоры теперь несколько сдвинулись кверху. Проигрыш заключается в появлении двух пустот справа и слева в конце ряда. Третий ряд, хотя и уложен тоже в гнезда второго, но представляет собой точное зеркальное отражение первого. Четвертый ряд снова отвечает второму и т. д. При укладке последнего ряда могут встретиться два случая: либо он окажется типа ряда 1, либо типа ряда 2. Во втором случае в ящик поместится на две половинки помидора меньше, чем в первом.
При плоской укладке в пустые гнезда диски или шары заполняют площадь на 90,6%
Возьмем фрагмент укладки из середины ящика. Приглядевшись, можно увидеть, что вокруг каждого кружка (помидора) располагаются шесть других кружков. Отдельные помидоры уже не вписываются в квадрат, вершина которого соприкасается с вершинами других (мысленных) квадратов, но никак не с помидорами. И четыре помидора вместе тоже не образуют квадрата: в наименьшую структурную единицу этой укладки входит всякий раз по 1/6 площади каждого из трех кругов, окружающих маленький участок свободной поверхности. Сопоставив их размеры, найдем, что степень использования площади при такой укладке возрастает до 90,6%. Это плотнейшая из известных нам плоских укладок шаров или дисков. Иначе говоря, мы не можем разместить на плоскости шары, помидоры или монеты одного достоинства (то есть размера), не оставив незанятой ее часть, равную 9,4% всей площади. Тем не менее расположение в гнездах с использованием площади в 90,6% - большое достижение по сравнению с укладкой ровными одинаковыми рядами, где этот показатель составляет лишь 78,5%.
В торговых залах больших магазинов кассы обычно устанавливаются одна за другой в длинный ряд. В случае если они больше не в состоянии совладать с натиском покупателей, их располагают «лесенкой», так удается вместить еще одну или две кассы при той же ширине зала. Станки в токарных цехах в большинстве своем сразу устанавливаются в «промежутках», чтобы возможно лучше использовать рабочую площадь.
Обычно в днище теплообменника стремятся вварить как можно больше труб, поэтому стараются расположить их наиболее рационально - в шахматном порядке: трубы верхнего ряда над промежутками между трубами нижнего ряда
Особенно важное значение имеет рациональное использование площади в теплообменниках. Теплообменник состоит из труб (в которых проходит жидкость), вваренных в общее днище. Эти трубы омываются жидкостью иной температуры. При этом температуры жидкостей вне и внутри труб выравниваются. Так как размеры всякого агрегата всегда стремятся сократить, то и трубы в теплообменниках стараются укладывать наиплотнейшим образом.
Французский мыслитель и ученый Блез Паскаль (1623-1662) посвятил шаровым упаковкам целый трактат. Он задался целью с помощью фигур (составленных из шаров) придать числам зримую наглядность. Представьте, что наш продавец фруктов вслед за Паскалем сооружает пирамиду, скажем из апельсинов. У Паскаля такая пирамида из шаров делала «зримой» третью степень. Во фруктовом магазине апельсиновая гора предназначена, естественно, не для того, чтобы напоминать нам о математике. Но если вам случилось немного задержаться в очереди у прилавка, посмотрите, как это делается. Сначала продавец выкладывает квадрат. Затем, глядя на свое произведение, он задумывается. Вы, не удержавшись, спрашиваете, над чем он ломает голову. И узнаёте, что всего лишь над тем, как из апельсинов, лежащих в этом квадрате, построить четырехгранную пирамиду. «Ну, - заявляете вы, - это ведь не так трудно. Надо попробовать». «Я уже пробовал, - отвечает продавец.
– С четырьмя апельсинами не выходит, с шестнадцатью тоже, и с двадцатью пятью ничего не получается». Удивившись, вы складываете квадрат 5Х5. Потом пробуете: 3Х3=9 - в качестве основания, 4 - во втором ряду, 1 апельсин как завершение - итого лишь 14 апельсинов вместо 25, заготовленных для пирамиды. Потом вы кладете 4Х4=16 в основание, 9 во второй ряд. Это уже 25, а пирамида еще не готова. Вами обоими овладевает азарт. Продажа апельсинов прекращается. Покупателям объявляют, что они должны «принести жертву» на алтарь науки. Вы систематически перебираете все числа-квадраты - 9, 16, 25, 36, 49 и т. д., пытаясь преобразовать их в пирамиду.
При укладке в три слоя верхний слой шаров следует укладывать в гнезда между шарами среднего слоя. Если предварительно не условиться о том в какие именно ямки укладывать шары, укладка с двух сторон (навстречу друг другу) не совпадет
Наконец, либо на вас, либо на продавца нисходит то самое знаменитое «озарение»- одного из вас внезапно осеняет блестящая мысль пойти путем проб и ошибок. Вы теперь решаете задачу обратным путем, исходя не из подбора нужных размеров квадрата, а из наличия шаров - строите пирамиду сверху вниз (1, 4, 9 и т. д.) так долго, пока сумма всех использованных шаров не окажется квадратом какого-нибудь числа. Если у вас окажется под рукой карманный калькулятор, это не составит проблемы. Он быстро пересчитает вам по порядку все числа-квадраты в последовательных слоях: верхний слой 1, второй слой 4, третий слой 9 апельсинов и т. д.
– и сложит результаты, то есть 1+4+9 и т. д. После каждого сложения он проверит, представляет ли собой полученное число квадрат. На 24-м слое окажется, что из 4900 апельсинов можно выложить квадрат 70Х70. Тем самым задача решена, и продавец может снять с двери табличку «Закрыто на приемку товара». Квадратное основание такой пирамиды составят 24Х24=576 апельсинов. «Давайте все же сложим маленькую пирамиду из апельсинов для витрины», - предлагает продавец. Вы с готовностью соглашаетесь и, усердно складывая апельсины, попутно объясняете продавцу, что не только в торговле возникают подобные проблемы, но, например, так же построены все кристаллы. Вам не удается закончить свои рассуждения, так как на третьем слое апельсинов, который вы с продавцом укладывали с двух сторон, узоры обеих укладок не сошлись. Решив обсудить эту проблему с продавцом, вы вконец расстроили бы торговлю. Но, может быть, вы уже поняли, в чем причина ошибки?
ПУТЬ К НОБЕЛЕВСКОЙ ПРЕМИИ
В одной из своих книг американский ученый Джеймс Д. Уотсон не без юмора и изрядной доли сарказма рассказывает о том, как он совместно с англичанами Френсисом Г. Криком и Морисом X. Ф. Уилкинсом открыл структуру генной спирали (носителя наследственности) (Уотсон Дж. Д. Двойная спираль.
– М.: Мир, 1969). Эти трое ученых получили в 1962 г. за свое открытие Нобелевскую премию. Если верить Уотсону, то большую часть времени он проводил в поисках развлечений и лишь иногда для собственного удовольствия размышлял о том, как построить модель гена из маленьких шариков. Задача состояла в том, чтобы, зная примерное число и последовательность расположения атомов в молекуле ДНК, построить ее модель из шариков и стержней. Размеры шариков в модели соответствовали размерам атомов в молекуле ДНК. Например, радиус иона углерода составляет 0,016 нанометра (нм) (нанометр - миллионная доля миллиметра), а радиус иона калия 0,133 нм. Из курса химии вы, наверное, помните, что ионы - это «осколки» атомов, несущие электрический заряд. При изготовлении модели были использованы шарики диаметром около 3 см, что соответствовало увеличению в миллиард раз. Уотсон, Крик и Уилкинс должны были учитывать также химическую валентность элементов (углерод четырехвалентен, калий одновалентен) и их химическое сродство - склонность определенных элементов вступать в соединение друг с другом. Их работа, ставшая ныне классической, - яркий пример того, как, играя в шарики, можно получить Нобелевскую премию.
Здесь шары второго слоя единообразно лежат в соответственных пустых гнездах между шарами. Внимательный взгляд замечает', что каждый шар окружен шестью другими шарами (гексагональная упаковка)
Вы еще помните вопрос, заданный в конце предшествующего раздела: почему мотивы обоих рисунков в третьем слое не совпали? Очевидно, шары третьего слоя можно укладывать в промежутки между шарами второго слоя разными способами. Во втором слое имеются пустые гнезда, расположенные непосредственно над шарами первого слоя; обозначим их буквой А. Но есть и такие гнезда, под которыми шары отсутствуют; обозначим их буквой В. Через них сквозь оба слоя просматривается подложка.
Таким образом, при укладке шаров третьего слоя мы можем выбирать между гнездами А и В. Если положить шары в гнезда А, то есть над шарами первого слоя, и продолжать следовать этой схеме при укладке дальнейших слоев, то получится гексагональная (шестиугольная) структура. Но стоит нам предпочесть пустоты типа В, как возникает кубический мотив укладки.
Рассполагая достаточным запасом шаров, можно выкладывать попеременно один слой по схеме А, другой по схеме В. Только в пределах одного слоя нужно быть последовательным, выдерживая единую схему (любую из них), иначе рисунки укладки не совпадут между собой (В плотнейшей шаровой гексагональной упаковке слои чередуются по схеме: АВ-АВ-АВ. Соответствующая схема для плотнейшей кубической упаковки: ABC-ABC-ABC. Менее симметричные плотнейшие шаровые упаковки имеют схемы ABAC-ABAC-ABAC, АВСАСВ-АВСАСВ-АВСАСВ и т. д.
– Прим. ред).
Гексагональная ячейка обладает плотнейшей шаровой упаковкой. Атомы располагаются в пустых гнездах между шарами. Для большей наглядности шары изображены мельче их действительного размера и потому не соприкасаются между собой
Конечно, и в этом случае возникает вопрос об использовании объема. Как мы помним, использование площади при укладке «в гнезда» составило 90,6%. При некотором воображении мы можем представить себе мысленно вырезанный из нашей шаровой упаковки элементарный куб. Он будет включать 8 угловых шаров и 6 шаров, расположенных в центрах каждой из граней куба. Такая структура носит в кристаллографии название «кубическая гранецентрированная структура».