Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики
Шрифт:

Покажем, как удостоверяется следование заключения из посылок на уже знакомом нам примере силлогистического модуса Celarent. Представим посылку «Ни одно B не есть С» в виде «Если А1 то не-A2» то есть (A1 -> ~А2), что является сокращением для формы (~А1 V ~\А2) здесь А1 и ~A2 суть пропозициональные формы, соответствующие выражениям «Нечто принадлежит классу В» и «Нечто принадлежит классу не-С (то есть дополнению к классу С)» в высказывании «Если нечто принадлежит классу B, то оно принадлежит

классу не-С», которое можно считать совпадающим по смыслу с данной посылкой. Посылку «Все A суть B», используя тот же прием, запишем в виде (А3 -> А1) заключение «Ни одно A не есть С» перейдет тогда в (A3 -> ~А2). Образуем импликативное выражение (((A1 -> ~A2) & (А3 -> А1)) -> (А3 -> ~А2)) и проверим с помощью таблиц истинности, является ли это выражение тождественно-истинным. Табл. 10 показывает, что оно будет таковым.

Пользование таблицами истинности для определения следования заключения из посылок, однако, весьма громоздко. При четырех пропозициональных переменных таблица будет иметь 16 строк, при пяти — 32 строки и т. д. Поэтому в логике разработаны методы аналитического обоснования следования заключения из посылок — путем преобразования формул. В нашем примере обращение к одному из аналитических методов будет выглядеть так (над знаками равенства проставлены номера шагов в получившейся цепочке равенств; наружные скобки в формулах, подвергающихся преобразованиям, опущены).

Прокомментируем каждый из тринадцати шагов, а затем подвергнем анализу результат преобразования. На шагах (1), (2) и (3) используется определение знака импликации как средства сокращенной записи формул (п. V на с. 57). В результате исследуемое импликативное выражение переходит в формулу нашего исчисления. На шаге (4) применяется первый закон Де Моргана, а на шаге (5) дважды — второй закон Де Моргана. Шаг (6) заключается в снятии двойных отрицаний. Далее, на шаге (7) происходит раскрытие скобок — применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. На шаге (8) по закону коммутативности дизъюнкции происходит перестановка членов в формулах ((A1 & А2) V A3) и ((A1 & A2) V ~A1)

На шаге (9) снова, причем дважды, применяется закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Шаг (10) состоит в том, что из четырехчленной конъюнкции на основании законов 17 и 14 исключается тождественно-истинный член (~А1 V A1). На шаге (11) применяется закон коммутативности дизъюнкции, а на шаге (12) происходит раскрытие скобок по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Обращаем внимание на то, что в наших преобразованиях использовалась ассоциативность операций дизъюнкции и конъюнкции, позволившая в формах, представляющих собой многочленные дизъюнктивные либо конъюнктивные формулы, удалить все скобки (это означает, что скобки мыслятся расставленными любым допустимым, то есть не нарушающим свойства выражения «быть формулой», образом)[18].

Этим же свойством, да еще законом коммутативности, мы пользовались на шаге (13), когда в трех членах конъюнктивной формулы, полученной на предыдущем этапе (они представляют собой дизъюнктивные формулы), расположили буквы в порядке возрастания индексов, сгруппировав вместе буквы и их отрицания. Подчеркнем, что на каждом из тринадцати шагов мы применяли наше «основное» правило вывода — производили замену равного равным, причем иногда по нескольку раз.

Исследуем теперь полученное выражение. Как и предыдущая формула,

оно представляет собой конъюнктивную формулу, состоящую из трех дизъюнктивных формул. Рассмотрим первую из них, взятую с удобной для наших целей расстановкой скобок: (А1 V ~А2) V (A3 V ~A3); формула (А3 V ~A3) есть тождественно-истинная форма (частный случай закона исключенного третьего); но раз в дизъюнктивной формуле (А1 V ~A2) V (A3 V ~A3) один из членов тождественно-истинен, то и вся формула также тождественно-истинна — это вытекает из табличного определения дизъюнкции в терминах истинностных значений.

В остальных двух дизъюнктивных формулах исследуемого выражения тоже «присутствует» закон исключенного третьего, поэтому каждая из них также тождественно-истинна. Итак, B нашей трехчленной конъюнкции каждый член оказывается тождественно-истинным. Вспомнив табличное задание операции конъюнкции (легко распространяемое на конъюнктивные формулы с произвольным числом членов), мы приходим к заключению, что наша результирующая формула тождественно-истинна. Но, в силу транзитивности отношения равенства, исходная формула равна результирующей, значит, и она тождественно-истинна.

Чтобы у читателя не создалось впечатления, что аналитические методы обязательно приводят к столь пространным выкладкам, мы решим эту же задачу другим способом. Предварительно заметим, что равенство вида

((~а V ) &( V а)) = (~а V ) &( V ) & ( V )) (*)

является верным равенством, каковы бы ни были формы , и этом можно убедиться, производя его табличную проверку; равенство (*) можно вывести и непосредственно из наших постулатов — осуществить это преобразование мы предоставляем читателю).

Возьмем конъюнкцию наших посылок и исключим из нее знаки -> : ((А1 -> ~А2) & (A3 -> А1)) = ((~А1 V ~А2) & (~A3 V A1)). Но в силу (*): ((~A1 V ~A2) & (~А3 V A1)) = ((A1 V ~A2) & (~A3 V A1) & (~A3 V ~A2))

(здесь роль играет формула A1 роль — формула ~A2 роль — формула ~A3)- Но очевидно, что из конъюнктивной формулы, сколько бы членов она ни имела, следует каждый ее член (так как не может быть, чтобы конъюнктивная формула была истинна, а какой-либо ее член — нет). Значит, если конъюнкция наших посылок истинна, истинна и формула (~A3 V ~A2) (поскольку она есть один из членов трехчленной конъюнкции, равной конъюнкции посылок). Значит, (~A3 V ~A2) есть следствие из посылок. Но в силу определения (~A3 V ~A2) = (A3 -> ~A2)- Задача решена.

Тождественно-истинные высказывания служат для выражения логически правильных форм рассуждений. Для иллюстрации этого положения приведем решение задачи восходящей к немецкому логику и математику Э. Шредеру — одному из продолжателей алгебро-логической линии исследований, начало которой было положено Булем[19]. «Один химик, имея в виду построить на этом дальнейшие заключения, выдвинул утверждение: «Соли, которые не окрашены, суть соли, которые не являются органическими телами, или суть органические тела, которые не окрашены». Другой химик с этим не согласился. Кто был прав?»

В рассуждении первого химика можно выделить следующие элементарные высказывания (суждения): «Нечто есть соль», «Нечто есть органическое тело» и «Нечто окрашено». Все рассуждение можно представить в виде следующего сложного условного суждения: «Если нечто есть соль и (это нечто) не окрашено, то (это нечто) есть соль и не есть органическое тело или есть органическое тело и не окрашено». Заменив элементарные высказывания соответственно переменными А1 A2 и A3, а вместо логических союзов «и», «или» и «если..., то» употребив знаки &, V и ->, мы можем представить логическую форму этого сложного высказывания следующим выражением: ((А1 & ~A3) -> ((A1 & ~A2) V (А2 & ~A3))). Для решения спора между двумя химиками надо определить, представляет ли оно тождественно-истинное высказывание.

Поделиться:
Популярные книги

Неожиданный наследник

Яманов Александр
1. Царь Иоанн Кровавый
Приключения:
исторические приключения
5.00
рейтинг книги
Неожиданный наследник

Ты не мой Boy 2

Рам Янка
6. Самбисты
Любовные романы:
современные любовные романы
короткие любовные романы
5.00
рейтинг книги
Ты не мой Boy 2

Курсант: назад в СССР

Дамиров Рафаэль
1. Курсант
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
7.33
рейтинг книги
Курсант: назад в СССР

Идеальный мир для Лекаря 4

Сапфир Олег
4. Лекарь
Фантастика:
фэнтези
юмористическая фантастика
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 4

Приручитель женщин-монстров. Том 7

Дорничев Дмитрий
7. Покемоны? Какие покемоны?
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
5.00
рейтинг книги
Приручитель женщин-монстров. Том 7

Я – Орк. Том 3

Лисицин Евгений
3. Я — Орк
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Я – Орк. Том 3

Титан империи

Артемов Александр Александрович
1. Титан Империи
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Титан империи

Цеховик. Книга 1. Отрицание

Ромов Дмитрий
1. Цеховик
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.75
рейтинг книги
Цеховик. Книга 1. Отрицание

Я все еще не князь. Книга XV

Дрейк Сириус
15. Дорогой барон!
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я все еще не князь. Книга XV

Невеста на откуп

Белецкая Наталья
2. Невеста на откуп
Фантастика:
фэнтези
5.83
рейтинг книги
Невеста на откуп

Невеста напрокат

Завгородняя Анна Александровна
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
6.20
рейтинг книги
Невеста напрокат

Изменить нельзя простить

Томченко Анна
Любовные романы:
современные любовные романы
5.00
рейтинг книги
Изменить нельзя простить

Фиктивный брак

Завгородняя Анна Александровна
Фантастика:
фэнтези
6.71
рейтинг книги
Фиктивный брак

Младший научный сотрудник

Тамбовский Сергей
1. МНС
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
6.40
рейтинг книги
Младший научный сотрудник