Жизнь науки
Шрифт:
"У меня нет ни желания, ни права предсказывать конечную оценку значимости этой системы. Оценка теории определяется не только ее правильностью. Она также зависит от важности предмета и области применений. За пределами этого должно быть еще место свободным суждениям человека. Если бы польза от математических формул для науки логики была лишь вопросом обозначений, я был бы удовлетворен тем, чтобы положиться па защиту этого подхода, сформулированную ныне живущим способным автором: «Во всех случаях, когда природа вопроса допускав безопасное проведение процесса мышления механически, следует построить язык по возможности опирающимся на механические принципы. В противном случае язык следует строить так, чтобы возникали все возможные препятствия к его механическому использованию» [78] . В одном смысле наука логики отличается от всех других наук. Совершенство ее метода в основном ценно как свидетельство мысленной истинности
78
J. S. ill. System of Logic, Ratiocinative and Inductive. Vol. II, p. 292.
Линкольн,
29 октября 1847 г.
ПУАНКАРЕ
Анри Пуанкаре родился в Нанси, в состоятельной буржуазной семье; его отеп был профессором медицины. Первоначальное образование он сначала получил дома, затем — в Лицее; девятнадцати лет он поступил в Политехническую школу.
Академическая жизнь Анри Пуанкаре началась рано и протекала блестяще. Тридцати лет он стал профессором Сорбонны, в 32 года — членом Парижской Академии, а к сорока годам — членом почти всех ученых обществ мира. Большую часть жизни Пуанкаре провел в Париже, покидая его на время бесчисленных путешествии. Каждый год, начиная читать лекции, Пуанкаре приступал к изложению нового раздела физики или математики. Большинство этих лекций издано и они составляют обширнейшую часть творческого наследия ученого. Более 500 научных работ и 30 книг, написанных им, посвящены разнообразнейшим проблемам математики, астрономии, физики, космогонии, геодезии. Пуанкаре много писал по философии и методологии науки. Он был женат на правнучке знаменитого биолога Жоффруа Сент-Илера, а его двоюродный брат Раймон Пуанкаре был в 1913—1920 гг. президентом Французской республики. Анри Пуанкаре умер 58 лет после неудачной операции.
Очень трудно, по существу невозможно, дать даже беглый обзор творчества этого глубокого и разностороннего ученого. Основные его работы посвящены созданию новых, качественных методов в математике и механике. В математике Пуанкаре развил теорию групп и заложил основы топологии. Сочинение Пуанкаре «Новые методы в небесной механике» (1892), удостоенное конкурсной премии Шведской Академии наук, положило начало развитию нелинейной механики. Анализ физических основ механики электрона и электродинамики непосредственно привел Пуанкаре к концепциям теории относительности, одним из творцов которой он является. Быть может, творчество Пуанкаре точнее всего отмечает рубеж, отделяющий эпоху классической физики и математики — механики Ньютона и анализа бесконечно малых — от современной. Глубокая критика некоторых сторон философских представлений Пуанкаре была дана В. И. Лениным в книге «Материализм и эмпириокритицизм».
Мы приводим вступление к мемуару Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1889) и предисловие к его кпиге «Новые методы в небесной механике» (1892).
ПЕРВЫЙ МЕМУАР
Полная теория функции, определяемых дифференциальными уравнениями, была бы чрезвычайно полезна для большого числа вопросов математики и механики. К сожалению, сразу видно, что в громадном большинстве случаев, с которыми нам приходится иметь дело, эти уравнения не могут быть проинтегрированы с помощью уже известных нам функций, например, с помощью функций, определяемых квадратурами. И если бы мы захотели ограничиться только теми случаями, которые можно изучить при помощи определенных или неопределенных интегралов, то область наших исследований оказалась бы чрезвычайно суженной, и огромное большинство вопросов, встречающихся в приложениях, осталось бы нерешенным.
Необходимо, следовательно, изучать функции, определяемые дифференциальными уравнениями сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям, так же, как это было сделано по отношению к алгебраическим функциям, которые сначала пытались свести к радикала^ а теперь изучают непосредственно, так же, как это было сделано по отношению к интегралам от алгебраических дифференциалов после долгих попыток выразить их в конечном виде.
Таким образом, исследование свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями,— задача, представляющая величайший интерес. Первый шаг на этом пути уже был сделан, когда было изучено поведение функции, определяемой дифференциальным уравнением, в окрестности какой-либо заданной точки плоскости. Задача, стоящая теперь перед нами,— это пойти дальше и изучить поведение этой функции на всем протяжении плоскости. В этом исследовании нашей отправной точкой, очевидно, будут служить уже известные результаты, относящиеся к поведению такой функции в некоторой области плоскости.
Полное исследование функций состоит из двух частей:
1) качественной (если можно так выразиться) части, или геометрического изучения той кривой, которая определяется этой функцией;
2) количественной части, или вычисления численных значений функции.
Так, например, для того чтобы исследовать алгебраическое уравнение, мы сначала определяем, с помощью теоремы Штурма, число действительных корней — это качественная часть; затем находим числовые значения этих корней — в этом заключается количественное изучение уравнения. Точно так же, для того чтобы изучить алгебраическую кривую, мы начинаем с построения этой кривой (как принято выражаться в соответствующих математических курсах), т.е. определяем наличие замкнутых ветвей, бесконечных ветвей и т.д.
После этого качественного изучения кривой можно точно определить некоторое число ее точек.
Естественно, что именно в качественной части должно начинаться исследование всякой функции, и поэтому проблема, которая в первую очередь встает перед нами,— это построение кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.
Это качественное исследование, когда оно будет полностью выполнено, будет очень полезно для вычисления численных значений искомой функции и позволит более просто установить сходящийся ряд, изображающий искомую функцию в некоторой части плоскости, и главная трудность заключается именно в отыскании надежного критерия для перехода от одной области, где функция определена одним сходящимся рядом, к другой области, где она выражается с помощью другого ряда.
С одной стороны, это качественное исследование и само по себе представляет первостепенный интерес. К нему могут быть сведены различные, исключительно важные вопросы анализа и механики. Возьмем в качестве примера задачу трех тел. Разве нельзя поставить вопрос, будет ли одно из этих тел всегда оставаться в некотором участке неба гогп оно сможет удалиться в бесконечность? Или вопрос о том, будет ли расстояние между двумя из этих тел неограниченно убывать, или. напротив, это расстояние будет всегда заключено в определенных пределах? Разве нельзя поставить тысячу вопросов такого рода, и все эти вопросы будут разрешены, как только мы сумеем качественно построить траектории этих трёх тел. И если рассматривать большее число тел, то чем иным является вопрос о неизменности элементов планет, как не подлинным вопросом качественной геометрии? Так как показать, что большая ось не имеет вековых изменений, это значит обнаружить, что она постоянно колеблется между некоторыми определенными границами.
Таково обширное поле открытий, простирающееся перед взорами математика. Я не претендовал на то, чтобы пройти его полностью, но я хотел по крайней мере переступить его границы; я ограничился одним весьма частным случаем, тем, который естественно представлялся первым,— именно изучением дифференциальных уравнений первого порядка и первой степени.
Задача трех тел настолько важна для астрономии и в то же время настолько трудна, что все усилия геометров уже давно устремлены в этом направлении. Полное и точное интегрирование является, очевидно, невозможным и потому пришлось прибегнуть к приближенным методам. Сначала были использованы методы, состоящие в разложении в ряды по степеням масс. В начале нашего века достижения Лагранжа и Лапласа, а позднее вычисления Леверрье довели эти методы до такой степени совершенства, что до настоящего времени они были достаточны для всех практических нужд. Я мог бы добавить, что они будут достаточны, несмотря на некоторые расхождения в деталях, еще в течение долгого времени, однако не вечно, как это легко себе уяснить.
Конечная цель небесной механики состоит в разрешении великого вопроса: может ли закон Ньютона, и только он один, объяснить все астрономические явления; единственным способом разрешения этого вопроса является проведение насколько возможно точных наблюдений и сравнение их с результатами вычислений. Эти вычисления могут быть лишь приближенными и, кроме того, нет никакого смысла вычислять большее количество десятичных знаков, чем могут дать наблюдения. Поэтому бесполезно требовать от вычислений большей точности, чем от наблюдений, но нельзя от вычислений требовать и меньшей точности. Поэтому приближение, которое мы можем считать удовлетворительным сегодня, окажется недостаточным через несколько веков. Действительно, даже если сделать весьма маловероятное предположение, что измерите л ьпые приборы^не будут более совершенствоваться, уже одно накопление наблюдений в течение нескольких веков позволит определить с большей точностью коэффициенты различных неравенств. Эта эпоха, когда придется отказаться от старых методов, конечно, еще очень далека, но теоретик должен ее предвидеть, так как труды теоретика должны опережать, и часто на много лет, труды вычислителей.