Жизнь науки

Капица С. П.

РАССЕЛ

(1872—1970)

Бертран Артур Вильям Рассел родился в Лопдоне в аристократической семье. Он получил прекрасное домашнее образование, затем оп поступил в Кембриджский университет, который с блеском окончил в 1894 г. Несколько месяцев он был атташе в Британском посольстве в Париже; год провел в Берлине, занимаясь историей немецкой социал-демократии. Возвратившись в Кембридж, он начинает работать в области оснований математики и математической логики. В 1903 г. Рассел публикует «Основы математики», а через два года выходит монография «Principia Mathematica», нанисапная совместно с Уайтхедом. Главным результатом этих исследований стало обнаружение противоречивости оснований теории множеств, сформулированной Расселом в виде его известных парадоксов. Сложность решения этой проблемы была сформулирована Расселом афористически: «Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим,

и не знаем, истинно ли то, что мы говорим».

В последующие годы Рассел по существу оставляет математику и основные силы уделяет фхглософпи, теории познания, этической и общественно-политической проблематике. Здесь невозможно дать даже краткое резюме исключительно раз-нообразпого и противоречивого творчества этого выдающегося мыслителя. Его деятельность была отмечена Нобелевской премией по литературе в 1954 г.

Жизнь Рассела так же полна противоречий, как и его работы. Во время первой мировой воины оп был исключен из колледжа и заключен в тюрьму за антивоенные выступления. Его взгляды на мораль и религию привели к высылке из США, куда он был приглашен читать лекции. После второй мировой войны Рассел, четко поняв всю опасность, которая угрожает человечеству в случае ядерного конфликта, активно выступил в защиту мира. В 1955 г. Рассел составил обращение к правительствам стран мира, подписанное вместе с Эйнштейном. Известие о его подписи Рассел получил вместе с сообщением о смерти своего друга.

Рассел дожил до глубокой старости: он умер на 98-м году жизни. За два года до этого он еще участвовал в сидячей демонстрации защитников мира па улицах Лондона.

Мы приводим предисловие к первому изданию «Основ математики» (1903).

ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

У данной работы две главные цели. Одна состоит в доказательстве того, что вся чистая математика рассматривает исключительно только понятия, определенные через очень небольшое число основных логических понятий, и что все ее положения выводятся из очень небольшого числа основных логических принципов. Эта цель рассмотрена в II— YII частях этого тома и будет доказана путем строгого символического мышления во втором томе. Доказательство этого тезиса обладает, если только я не ошибаюсь, всей определенностью и точностью, на которую способно математическое доказательство. Поскольку этот тезис лпшь недавно появился среди математиков и почти полностью отрицается философами, в этом томе я предпринял защиту разных сторон этого тезиса по мере необходимости против тех теорий, которые наиболее распространены пли же наиболее трудны для опровержения. Я также попытался представить на возможно менее специализированном языке основные этапы рассуждений, которыми этот тезис устанавливается.

Другая цель этой работы, которой посвящена часть I, заключается в объяснении фундаментальных понятий, которые математика принимает как неопределяемые. Это чисто философский труд, и я не могу себе льстить тем, что сделал больше, чем только указал на обширную область исследований и дал примеры тех методов, которыми эти исследования можно вести. Обсуждение неопределяемых понятий — в чем заключена основная часть философской логики — представляет попытку увидеть ясно и заставить уяснить других рассматриваемые вещи так, чтобы они предстали разуму с той же полнотой и наглядностью, как цвет или вкус ананаса. Когда неопределяемые, как в данном случае, получаются первоначально как неизбежный остаток в процессе анализа, то часто проще знать, что такие понятия должны существовать, чем их действительно познать. Этот процесс аналогичен тому, который привел к открытию Нептуна, с той лишь разницей, что заключительная стадия — поиски с помощью мысленного телескопа вещей, о существовании которых сделано предположение,— часто бывает наиболее трудной частью всего исследования. Я должен признать, что в случае классов я не смог предложить какого-либо понятия, удовлетворяющего условиям, сформулированным для понятия класса. И противоречие, обсуждаемое в X главе, показывает на то, что что-то упущено, однако, что именно, я до сих пор не смог установить.

Второй том, к работе над которым мне удалось привлечь А. Уайтхеда, будет обращен исключительно к математикам. В нем будут содержаться цепочки рассуждений, начинающиеся с посылок символической логики и ведущие через арифметику как конечного, так и бесконечного к геометрии в том же порядке, как это принято и в настоящем томе. В нем будут содержаться также различные оригинальные выводы, в которых метод профессора Пеано, дополненный логикой отношений, показал себя могучим инструментом исследований.

Данный том, который можно рассматривать либо «как комментарий, либо как введение ко второму тому, в равной мере адресован философу и математику. В некоторых своих частях он будет более интересен одному, а в других — другому. Математикам, если только они не заинтересованы специально в символической логике, я могу посоветовать начать с части IV и обращаться к начальным главам толькб по мере необходимости. Более философский характер имеют следующие разделы: часть I (без главы II); часть И: главы XI, XV, XVI, XVII; часть III; часть IV: § 207, главы XXVI, XXVII, XXXI; часть V: главы XLI, XLII, XLIII; часть VI: главы I, LI, LII; часть VII: главы LIII, HV, LV, LVII, LVIII, а также два приложения, относящиеся к части I, которые следует читать в связи с ними. Работа профессора Фреге, которая в значительной мере предвосхищает мою, была гае большей частью неизвестной, когда началось печатание данного труда. Я видел его «Основы арифметики»; однако нз-за большой трудности его символики я не мог ни оценить ее важность, ни принять ее содержание. Единственный способ, на столь поздней стадии, отдать должное его работам состоял в том, чтобы посвятить им приложение. Но в некоторых пунктах взгляды, содержащиеся в приложении, отличаются от тех, которые даны в главе VI, особенно в §§ 71, 73, 74. Я обнаружил ошибки в вопросах, рассматриваемых в этих параграфах, уже после того, как материал поступил в печать. Эти ошибки, из которых основная заключается в отрицании нулевого класса и отождествлении элемента с классом, единственным элементом которого он является, исправлены в приложениях. Рассматриваемые вопросы столь трудны*, что я не стал бы настаивать на настоящих своих мнениях и рассматриваю всякие выводы, которых можно придерживаться как существенно гипотетических.

Важность рассматриваемых вопросов могут помочь понять несколько cjtob о происхождении данной работы. Шесть лет тому назад я предпринял исследование философских основ динамики. Я столкнулся с трудностью, заключающейся в том, что, когда на частицу действует несколько сил, ни одна из составляющих ускорения не реализуется, а реализуется только результирующее ускорение, частями которого они но являются. Этот факт делает иллюзорным всякое причинение частичного от частичного, как это утверждается, на первый взгляд, законом тяготения. Казалось также, что проблема абсолютного движения неразрешима в рамках теории относительности пространства. От этих двух вопросов я пришел к пересмотру понятий геометрии, а затем к философским вопросам непрерывности и бесконечности, а затем к смыслу слова всякий, к символической логике. Окончательный результат, что касается философии динамики, наверное довольно скромен; причина этого состоит в том, что почти все проблемы динамики кажутся мне лишь эмпирическими и потому лежащими вне пределов данной работы. Пришлось опустить также много интересных вопросов, особенно в частях VI и VII, как не относящихся к моей цели и которые, с тем, чтобы избежать непонимания, лучше всего объяснить здесь.

Когда рассматриваются действительные предметы, или же когда геометрия и динамика применяются к действительно существующему пространству или материи, или же когда любым другим образом математические рассуждения применяются к тому, что существует, то же рассуждение, которое используется, применяется в виде, не зависящем от объектов, к которым они применяются, полагая, что эти объекты именно таковы, какими они есть, и обладают определенными общими свойствами. В чистой математике нет вопроса о действительных предметах реального мира, в ней идет речь только о гипотетических объектах, имеющих общие свойства, от которых зависят любые рассматриваемые заключения. Эти общие свойства всегда будут выражаться в терминах фундаментальных понятий, которые я назвал логическими константами. Так, когда в чистой математике мы говорим о пространстве и движении, мы не говорим о действительном пространстве и’ действительном движении, какие мы знаем из опыта, мы говорим о вещах, обладающих теми абстрактными общими свойствами пространства и движения, которые используются в геометрических и динамических рассуждениях. Вопрос о том, относятся ли эти свойства в действительности к реальному пространству и материи, не имеет никакого отношения к чистой математике и тем самым к данной работе. С моей точки зрения — это чисто эмпирический вопрос, который следует исследовать в лаборатории или обсерватории. Косвенно, правда, рассуждения, связанные с чистой математикой, имеют очень большое отношение к таким эмпирическим вопросам, поскольку математические пространство и движение считаются многими,

31 Жизнь науки быть может и большинством философов, внутренне противоречивыми И потому по необходимости отличающимися от действительного пространства и движения, тогда как, если взгляды, излагаемые па следующих страницах, верны, то никаких внутренних противоречий в математических пространстве и движении не должно усматриваться. Однако такие соображения, лежащие вне математики, практически полностью исключены из данной работы.

По основным вопросам философии в своих главных чертах я следую Дж. Э. Муру. Я заимствую у него идею неэкзистенциального характера высказываний (за исключением утверждений существования) и их независимости от любого познающего разума. Я также принял плюрализм, рассматривающий мир, как сущего, так и сущностей, состоящим из бесконечного числа взаимно независимых сущностей, отношения которых яв-ляются исчерпывающими и не сводятся к чему-либо, зависящему от их элементов или того целого, которое они составляют. До того, как я усвоил эти взгляды от него, я был совершенно не в состоянии построить какую-либо философию арифметики, в то время как их принятие привело к немедленному освобождению от большого числа трудностей, трудностей, которые я считал непреодолимыми. Только что упомянутое учение, с моей точки зрения, совершенно необходимо для всякой сколько-нибудь удовлетворительной философии математики, что, как я надеюсь, будет видно из следующих страниц. Однако я должен предоставить моим читателям судить о том, в какой мере мои рассуждения опираются на эти принципы и в какой мере они, эти принципы, подтверждаются. Формально мои посылки просто постулируются. Но тот факт, что они позволяют математике быть истинной, чего не допускает большинство философских теорий, является сильнейшим доводом в их пользу.

В математике я больше всего обязан, как это, наверное, очевидно, Георгу Кантору и профессору Пеано. Если бы я был ранее знаком с работами профессора Фреге, то я многим был бы обязан и ему, хотя я и независимо получил ряд результатов, которые он уже установил. На каждом этапе моей работы мне помогали замечания, пример и великодушная поддержка А. Н. Уайтхеда. Он также был настолько любезен, что прочел корректуру и значительно улучшил окончательный вид очель многих мест. Ряду полезных замечаний я обязан также В. Э. Джонсону. Помимо общих положений, лежащих в основе целого, в более философских частях книга я многим обязан Дж. Э. Муру.