Звезды: их рождение, жизнь и смерть

Шкловский Иосиф Самуилович

На самом деле, конечно, наше рассуждение является весьма упрощенным. Мы говорили выше о «траекториях» для наглядности. Вместо классической картины движения по траектории квантовая механика говорит только о состоянии электрона, описываемого несколькими совершенно определенными («квантовыми») параметрами. В каждом из возможных состояний электрон имеет некоторую определенную энергию. В рамках нашей модели движения по траекториям принцип Паули можно сформулировать еще так: по одной и той же «дозволенной» траектории могут двигаться с одинаковыми скоростями (т. е. иметь одинаковую энергию) не больше двух электронов.

Применительно к сложным, многоэлектронным атомам принцип Паули позволяет понять, почему у них электроны не «ссыпались» на самые «глубокие» орбиты, энергия которых минимальна. Другими словами, он дает ключ к пониманию строения атома. Точно так же обстоит дело и в случае электронов в металле, и в случае вещества недр белых карликов. Если бы одно и то же количество электронов и атомных ядер заполняло достаточно

большой объем, то «для всех хватило бы места». Но представим себе теперь, что этот объем ограничен. Тогда только небольшая часть электронов заняла бы все возможные для их движения траектории, число которых по необходимости ограничено. Остальные электроны должны были бы двигаться по тем же самым траекториям, которые уже «заняты». Но в силу принципа Паули они будут двигаться по этим траекториям с большими скоростями и, следовательно, обладать большей энергией. Дело обстоит совершенно так же, как в многоэлектронном атоме, где из-за того же принципа «избыточные» электроны обязаны двигаться по орбитам с большей энергией.

В куске металла или в каком-нибудь объеме внутри белого карлика число электронов больше числа дозволенных траекторий движения. Иное дело в обычном газе, в частности, в недрах звезд главной последовательности. Там число электронов всегда меньше числа дозволенных траекторий. Поэтому электроны могут двигаться по разным траекториям с различными скоростями, как бы «не мешая» друг другу. Принцип Паули в этом случае не отражается на их движении. В таком газе устанавливается максвеллово распределение скоростей и выполняются хорошо известные из школьной физики законы газового состояния вещества, в частности, закон Клапейрона. Если «обычный» газ сильно сжать, то число возможных траекторий для электронов станет значительно меньше и, наконец, наступит такое состояние, когда на каждую траекторию придется больше двух электронов. В силу принципа Паули эти электроны обязаны иметь различные скорости, превышающие некоторое критическое значение. Если теперь сильно охладить этот сжатый газ, то скорости электронов отнюдь не уменьшатся. В противном случае, как легко понять, принцип Паули перестал бы выполняться. Даже вблизи абсолютного нуля скорости электронов в таком газе оставались бы большими. Газ, обладающий такими необычайными свойствами, называется вырожденным. Поведение такого газа целиком объясняется тем, что его частицы (в нашем случае — электроны) занимают все возможные траектории и движутся по ним «по необходимости» с весьма большими скоростями. В противоположность вырожденному газу скорости движения частиц в «обычном» газе при уменьшении его температуры становятся очень маленькими. В соответствии с этим уменьшается и его давление. Как же обстоит дело с давлением вырожденного газа? Для этого вспомним, что мы называем давлением газа. Это импульс, который частицы газа передают за одну секунду времени при столкновениях некоторой «стенке», ограничивающей его объем. Отсюда ясно, что давление вырожденного газа должно быть очень велико, так как скорости образующих его частиц велики. Даже при очень низких температурах давление вырожденного газа должно оставаться большим, так как скорости его частиц, в отличие от обычного газа, почти не уменьшаются с уменьшением температуры. Следует ожидать, что давление вырожденного газа мало зависит от его температуры, так как скорость движения образующих его частиц определяется прежде всего принципом Паули.

Наряду с электронами в недрах белых карликов должны быть «оголенные» ядра, а также сохранившие «внутренние» электронные оболочки сильно ионизованные атомы. Оказывается, что для них количество «дозволенных» траекторий всегда больше числа частиц. Поэтому они образуют не вырожденный, а «нормальный» газ. Скорости их определяются температурой вещества белых карликов и всегда много меньше, чем скорости электронов, обусловленных принципом Паули. Поэтому в недрах белых карликов давление обусловлено только вырожденным электронным газом. Отсюда следует, что равновесие белых карликов почти не зависит от их температуры.

Как показывают квантовомеханические расчеты, давление вырожденного электронного газа, выраженное в атмосферах, определяется формулой

(10.1)

где постоянная K = 3

10⁶, а плотность

выражена, как обычно, в граммах на кубический сантиметр. Формула (10.1) заменяет для вырожденного газа уравнение Клапейрона и является его «уравнением состояния». Характерной особенностью этого уравнения является то, что температура в него не входит. Кроме того, в отличие от уравнения Клапейрона, где давление пропорционально первой степени плотности, здесь зависимость давления от плотности более сильная. Это нетрудно понять. Ведь давление пропорционально

концентрации частиц и их скорости. Концентрация частиц, естественно, пропорциональна плотности, а скорость частиц вырожденного газа растет с ростом плотности, так как при этом, согласно принципу Паули, растет количество «избыточных» частиц, вынужденных двигаться с большими скоростями.

Условием применимости формулы (10.1) является малость тепловых скоростей электронов по сравнению со скоростями, обусловленными «вырождением». При очень высоких температурах формула (10.1) должна переходить в формулу Клапейрона (6.2). Если давление, полученное для газа с плотностью

по формуле (10.1), больше, чем по формуле (6.2), значит, газ вырожден. Отсюда получается «условие вырождения»

(10.2)

или

где

 — средняя молекулярная масса. Чему же равно

в недрах белых карликов? Прежде всего водорода там практически не должно быть: при таких огромных плотностях и достаточно высоких температурах он давно уже «сгорел» при ядерных реакциях. Основным элементом в недрах белых карликов должен быть гелий. Так как его атомная масса равна 4 и он при ионизации дает два электрона (при этом надо учитывать еще, что частицами, производящими давление, там являются только электроны), то средняя молекулярная масса должна быть очень близка к 2. Численно условие вырождения (10.2) записывается так:

(10.3)

Если, например, температура T = 300 К (комнатная температура), то

> 2,5

10^{– 4} г/см³. Это очень низкая плотность, из которой сразу же следует, что электроны в металлах должны быть вырождены (на самом деле в этом случае постоянные K и

имеют другое значение, но суть дела при этом не меняется). Если температура T близка к температуре звездных недр, т. е. около 10 миллионов кельвинов, то

> 1000 г/см³. Отсюда сразу же следуют два вывода:

a. В недрах обычных звезд, где плотность хотя и высока, но заведомо ниже 1000 г/см³, газ не вырожден. Это обосновывает применимость обычных законов газового состояния, которыми мы широко пользовались в § 6.

b. У белых карликов средние, а тем более центральные плотности заведомо больше 1000 г/см³. Поэтому обычные законы газового состояния для них неприменимы. Для понимания белых карликов необходимо знать свойства вырожденного газа, описываемые уравнением его состояния (10.1). Из этого уравнения прежде всего следует, что структура белых карликов практически не зависит от их температуры. Так как, с другой стороны, светимость этих объектов определяется, их температурой (например, скорость термоядерных реакций зависит от температуры), то мы можем сделать вывод, что структура белых карликов не зависит и от светимости. В принципе, белый карлик может существовать (т. е. находиться в равновесной конфигурации) и при температуре, близкой к абсолютному нулю. Мы приходим, таким образом, к выводу, что для белых карликов, в отличие от «обычных» звезд, не существует зависимость «масса — светимость».

Для этих необычных звезд, однако, существует специфическая зависимость «масса — радиус». Подобно тому как сделанные из одного какого-либо металла шары равной массы должны иметь равные диаметры, размеры белых карликов с одинаковой массой также должны быть одинаковы. Это утверждение, очевидно, несправедливо для других звезд: звезды-гиганты и звезды главной последовательности могут иметь одинаковые массы, но существенно разные диаметры. Такое отличие белых карликов от остальных звезд объясняется тем, что температура почти не играет никакой роли в их гидростатическом равновесии, которое и определяет структуру.