А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
С помощью своего знаменитого «диагонального процесса» Кантор доказал, что множество всех действительных чисел невозможно поставить во взаимнооднозначное соответствие с множеством целых чисел.
Кроме того, Кантор установил взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек на любом отрезке прямой, на всей бесконечной прямой, множеством точек квадрата, плоскости, неограниченно простирающейся во все стороны, куба, бесконечного пространства, а также гиперкубов и пространств более высокой размерности.
Кантор доказал также, что кардинальное число 2
Математики говорят, что множество действительных чисел обладает «мощностью континуума», и обозначают его кардинальное число с. Кантор пытался доказать, что с =
Через много десятилетий работами Курта Гёделя и Пола Коэна было установлено, что аксиомы обычной теории множеств не позволяют решить вопрос, интересовавший Кантора. Современная теория множеств делится на канторовскую и неканторовскую.
Канторовская теория множеств предполагает, что с =
Знаменитая «гипотеза континуума» (как стали называть предположение Кантора) была решена сравнительно недавно, когда Коэн и другие математики доказали, что она неразрешима. Аналогичная ситуация возникла в геометрии после того, как было доказано, что постулат Евклида о параллельных нельзя вывести из других аксиом евклидовой геометрии.
Этот постулат можно заменить другими, и в зависимости от того, какой постулат будет принят, геометрия делится на евклидову и неевклидову.
3. ГЕОМЕТРИЯ
Парадоксы о плоскости, пространстве и невозможных формах
Большинство людей понимает под геометрией евклидову геометрию на плоскости, то есть изучение свойств жестких плоских фигур. В этой главе мы будем понимать геометрию в более широком смысле — так, как се определил более века назад Феликс Клейн. Геометрия, по Клейну, занимается изучением свойств фигур в пространстве любого числа измерений, остающихся неизменными, или инвариантными, относительно любой заданной группы преобразований. Предложенная Клейном концепция геометрии оказалась наиболее плодотворной для унификации понятий в современной математике. В евклидовой планиметрии и стереометрии допустимые преобразования состоят из трансляций (перемещений с одного места на другое), зеркальных отражений, поворотов и сжатий или растяжений. Более глубокие преобразования приводят к аффинной геометрии, проективной геометрии, топологии и, наконец, теории множеств, в которой фигуру разрешается «рассыпать» на отдельные точки, с тем чтобы составить из них новую фигуру.
Швейцарский
Топология — довольно необычный раздел геометрии, изучающая свойства фигур, инвариантные относительно непрерывных деформаций. Представьте себе, что фигура или тело изготовлены из резины. Вы можете как угодно изгибать, растягивать и сжимать ее. Запрещается только отрывать части и приклеивать их.
Например, лист Мёбиуса обладает таким топологическим свойством, как односторонность: если представить его сделанным из резины, то как бы вы ни изгибали и ни растягивали его, он все равно останется односторонним. Многие собранные в этой главе парадоксы связаны с топологическими свойствами.
Преобразованиям отражения, переводящим асимметричные фигуры, например прописную букву Л, в их зеркальные отражения, мы уделяем внимание не только потому, что с отражениями связано много парадоксов, но и потому, что они играют важную роль в современной геометрии и естественных науках. Зеркальная симметрия играет фундаментальную роль в химии, особенно органической, в которой большинство соединений существует в двух формах (левой и правой), в кристаллографии, биологии (в частности, в генетике) и в физике элементарных частиц.
Хотя некоторые из собранных в этой главе парадоксов могут показаться забавными безделушками, каждый из них, как вы вскоре убедитесь, довольно быстро и незаметно приводит к таким важным разделам математики, как теория групп, математическая логика, теория бесконечных последовательностей, рядов и пределов. Те, кто изучает геометрию, обычно уделяют так много внимания построениям с помощью циркуля и линейки и доказательству сложных теорем, что совершенно упускают из виду связи, существующие между геометрией и другими областями математики, не говоря уже о нескончаемых и прекрасных приложениях, которые геометрия находит в астрономии, физике и других науках.
Марвин. Ау, Миртль! Это ты прячешься за дерево?
Марвин пускается в путь вокруг дерева. Миртль, потихоньку переступая, прячется от Марвина за стволом и также обходит вокруг дерева.
Описав полный круг, Марвин и Миртль возвращаются на исходные места. Обошел ли Марвин вокруг Миртль?
Марвин. Ну конечно, обошел!
Раз я обошел вокруг дерева, то обошел и вокруг Миртль, которая пряталась за ним.
Миртль. Ничего подобного! Если бы никакого дерева не было, Марвин все равно не увидел бы моей спины. А разве можно обойти вокруг кого-нибудь, не увидев его со всех сторон?
Этот старинный парадокс многие знают как историю о белке и охотнике. Белка сидит на дереве. Охотник, пытаясь подкрасться к ней сзади, обходит вокруг дерева, но зверек, не спуская глаз с охотника, прячется за стволом и постепенно описывает полный круг.