А ну-ка, догадайся!

Гарднер Мартин

_{М-с 3еро.6 плюс 3 плюс 2 — 11 машин. Одна машина лишняя, это моя машина.}

_{Изящно впорхнув в свою машину, миссис Зеро дала газ и умчалась.}

_{М-с Зеро.Всегда к вашим услугам, мальчики! Счет за консультацию я пришлю вам попозже.}

Этот парадокс представляет собой современный вариант старинной арабской головоломки, в котором вместо лошадей речь идет о машинах. Вы можете

по своему усмотрению изменять завещание старого чудака, варьируя число машин в оставшейся после него коллекции и доли наследства, причитающиеся его, сыновьям, следя лишь за тем, чтобы соблюдалось единственное условие: пополнив коллекцию еще одной машиной, сыновья получали возможность разделить наследство в соответствии с завещанием и вернуть «лишнюю» машину тому, кто любезно одолжил им ее.

Например, коллекция, оставшаяся после смерти адвоката, могла бы насчитывать 17 машин, а в завещании могло бы говориться о том, что сыновья должны получить соответственно 1/2, 1/3 и 1/9 всех машин.

Если n— число машин в коллекции, 1/а, 1/b и 1/c — доли, причитающиеся сыновьям по наследству, то парадокс возникает только в том случае, если уравнение

допускает решение в положительных целых числах.

Удастся ли вам обобщить задачу на случай большего числа наследников и машин, занимаемых для того, чтобы стал возможным раздел наследства в соответствии с завещанием?

Решение парадокса состоит в том, что сумма долей, указанных в завещании, меньше 1. Если бы сыновья во исполнение завещания вздумали бы резать машины, то после раздела наследства 11/12 машины остались бы «невостребованными». Миссис Зеро, по существу, показала братьям, как распределить между ними эти дополнительные 11/12 машины. В результате старший сын получает на 6/12, средний — на 3/12 и младший — на 2/12 машины больше, чем получили бы первоначально. В сумме эти три дроби (6/12 + 3/12 + 2/12) составляют 11/12, а поскольку каждый сын получает целое число машин, необходимость в разрезании машин отпадает.

Необыкновенный код

_{Доктор Зета, ученый из галактики Геликс, лежащей в другом измерении пространства — времени, прибыл на Землю для сбора научной информации об ее обитателях.}

_{В США он был гостем доктора Германа.}

_{Д-р Герман.Почему бы вам не прихватить с собой Британскую энциклопедию? В ней в сжатом виде изложен колоссальный опыт всего человечества.}

_{Д-р Зета.Великолепная идея! Жаль только, что я не смогу взять с собой столь большую массу.}

_{Д-р 3ета.Впрочем, я могу закодировать энциклопедию на этом металлическом стержне. Для этого мне понадобится нанести на него одну-единственную риску.}

_{Д-р Герман.Вы шутите, коллега? Разве может одна-единственная риска нести такое огромное количество информации?}

_{Д-р Зета.Разумеется, может, мой дорогой Герман! В вашей энциклопедии меньше тысячи букв и специальных знаков. Каждую}

букву и каждый знак я обозначу числами от 1 до 999, добавляя в случае необходимости нули слева, чтобы все коды были трехзначными.

_{Д-р Герман.Я не вполне уловил вашу мысль. Как, например, вы закодируете слово «КОТ»?}

_{Д-р Зета.Очень просто. Закодирую каждую из трех букв так, как я только что говорил, и получу 003001020.}

_{С помощью своего мощного карманного компьютера доктор Зета быстро считал строку за строкой Британскую энциклопедию и закодировал весь текст в виде одного гигантского числа. Поставив перед ним нуль с запятой, он превратил это число в конечную десятичную дробь.}

_{Затем доктор Зета нанес риску на металлический стержень, разделив его на две части ( аи Ь) так, чтобы их отношение было равно полученной дроби.}

_{Д-р Зета.Когда я вернусь на родную планету, один из наших компьютеров измерит отрезки аи bи вычислит дробь a/b. Затем он декодирует ее и отпечатает для нас всю вашу энциклопедию!}

Если вы никогда не сталкивались с проблемами кодирования и декодирования, то вам, несомненно, будет интересно самостоятельно закодировать и декодировать несколько простых сообщений с помощью какого-нибудь числового кода, аналогичного предложенному доктором Зета. Коды позволяют нам прочувствовать всю важность взаимно-однозначного соответствия и отображения структуры на изоморфную структуру. Такие коды находят применение в высших разделах теории доказательств. Курт Гёдель доказал свою знаменитую теорему о том, что в каждой достаточно сложной (содержащей аксиомы арифметики целых чисел) дедуктивной системе существуют утверждения, которые в рамках этой системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Доказательство Гёделя основано на использовании числового кода, позволяющего сопоставить каждой теореме дедуктивной системы единственное и очень большое целое число.

Разумеется, кодирование всей энциклопедии с помощью одной-единственной риски на стрежне хорошо лишь в теории, но отнюдь не на практике. Трудность состоит в том, что необходимая для такого кодирования точность недостижима. Ширина риски должна быть меньше размеров электрона, и длину обоих отрезков аи Ьнеобходимо измерять с такой же точностью. Но если предположить, что два отрезка можно измерить с точностью, достаточной для получения требуемой дроби, то метод доктора Зета следует признать вполне осуществимым.

Обратимся теперь к иррациональным числам.

Математики считают, что десятичное разложение числа я «бесструктурно», как любая другая бесконечная последовательность случайных цифр. Если это так, то можно утверждать, что какой бы конечный набор цифр мы ни взяли, в разложении я найдется совпадающий с ним отрезок. Иначе говоря, где-то в разложении числа я встречается отрезок, совпадающий с закодированной доктором Зета Британской энциклопедией. Более того, где-то в десятичном разложении числа я встречаются отрезки, совпадающие с закодированными текстами всех когда-либо напечатанных работ и даже всех сочинений, которые когда-нибудь будут созданы!