А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Кардинальное число множества всех натуральных чисел (так называемого счетного множества) Кантор обозначил
Парадокс
Как необычна арифметика кардинальных чисел!
Бесконечное множество всех действительных чисел больше, чем множество целых чисел. Кантор считал, что оно имеет кардинальное число
С помощью своего знаменитого «диагонального процесса» Кантор доказал, что множество всех действительных чисел невозможно поставить во взаимнооднозначное соответствие с множеством целых чисел.
Кроме того, Кантор установил взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек на любом отрезке прямой, на всей бесконечной прямой, множеством точек квадрата, плоскости, неограниченно простирающейся во все стороны, куба, бесконечного пространства, а также гиперкубов и пространств более высокой размерности.
Кантор доказал также, что кардинальное число 2
Математики говорят, что множество действительных чисел обладает «мощностью континуума», и обозначают его кардинальное число с. Кантор пытался доказать, что с =
Через много десятилетий работами Курта Гёделя и Пола Коэна было установлено, что аксиомы обычной теории множеств не позволяют решить вопрос, интересовавший Кантора. Современная теория множеств делится на канторовскую и неканторовскую.
Канторовская теория множеств предполагает, что с =
Знаменитая «гипотеза континуума» (как стали называть предположение Кантора) была решена сравнительно недавно, когда Коэн и другие математики доказали, что она неразрешима. Аналогичная ситуация возникла в геометрии после того, как было доказано, что постулат Евклида о параллельных нельзя вывести из других аксиом евклидовой геометрии.
Этот постулат можно заменить другими, и в зависимости от того, какой постулат будет принят, геометрия делится на евклидову и неевклидову.
3. ГЕОМЕТРИЯ
Парадоксы о плоскости, пространстве и невозможных формах
Большинство людей понимает под геометрией евклидову геометрию на плоскости, то есть изучение свойств жестких плоских фигур. В этой главе мы будем понимать геометрию в более широком смысле — так, как се определил более века назад Феликс Клейн. Геометрия, по Клейну, занимается изучением свойств фигур в пространстве любого числа измерений, остающихся неизменными, или инвариантными, относительно любой заданной группы преобразований. Предложенная Клейном концепция геометрии оказалась наиболее плодотворной для унификации понятий в современной математике. В евклидовой планиметрии и стереометрии допустимые преобразования состоят из трансляций (перемещений с одного места на другое), зеркальных отражений, поворотов и сжатий или растяжений. Более глубокие преобразования приводят к аффинной геометрии, проективной геометрии, топологии и, наконец, теории множеств, в которой фигуру разрешается «рассыпать» на отдельные точки, с тем чтобы составить из них новую фигуру.
Швейцарский психолог Жан Пиаже считает, что дети постигают геометрические свойства в обратном порядке. Например, малышу легче понять различие между кучкой красных и кучкой синих шариков (теория множеств) или между замкнутой в кольцо и разомкнутой резиновой лентой (топология), чем отличить пятиугольник от шестиугольника (евклидова геометрия).
Топология — довольно необычный раздел геометрии, изучающая свойства фигур, инвариантные относительно непрерывных деформаций. Представьте себе, что фигура или тело изготовлены из резины. Вы можете как угодно изгибать, растягивать и сжимать ее. Запрещается только отрывать части и приклеивать их.
Например, лист Мёбиуса обладает таким топологическим свойством, как односторонность: если представить его сделанным из резины, то как бы вы ни изгибали и ни растягивали его, он все равно останется односторонним. Многие собранные в этой главе парадоксы связаны с топологическими свойствами.
Преобразованиям отражения, переводящим асимметричные фигуры, например прописную букву Л, в их зеркальные отражения, мы уделяем внимание не только потому, что с отражениями связано много парадоксов, но и потому, что они играют важную роль в современной геометрии и естественных науках. Зеркальная симметрия играет фундаментальную роль в химии, особенно органической, в которой большинство соединений существует в двух формах (левой и правой), в кристаллографии, биологии (в частности, в генетике) и в физике элементарных частиц.
Хотя некоторые из собранных в этой главе парадоксов могут показаться забавными безделушками, каждый из них, как вы вскоре убедитесь, довольно быстро и незаметно приводит к таким важным разделам математики, как теория групп, математическая логика, теория бесконечных последовательностей, рядов и пределов. Те, кто изучает геометрию, обычно уделяют так много внимания построениям с помощью циркуля и линейки и доказательству сложных теорем, что совершенно упускают из виду связи, существующие между геометрией и другими областями математики, не говоря уже о нескончаемых и прекрасных приложениях, которые геометрия находит в астрономии, физике и других науках.