А ну-ка, догадайся!

Гарднер Мартин

Любой конечный набор цифр встречается и в десятичных разложениях иррациональных чисел, в которых распределение цифр не случайно, а подчинено простым и ясным закономерностям. Например, любой конечный набор цифр заведомо встречается в десятичном разложении

0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…

(после запятой выписаны подряд все целые числа).

Гостиница «Бесконечность»

_{Перед своим отлетом доктор Зета поведал поистине фантастическую историю.}

_Д-р

Зета.В самом центре нашей галактики находится огромная гостиница «Бесконечность». В ней действительно бесконечно много однокомнатных номеров, уходящих через черную дыру в другое измерение. В гостинице есть первый номер, есть второй (комнаты перенумерованы по порядку), но нет последнего.

_{Д-р Зета.Однажды в гостиницу по пути в другую галактику заглянул командир неизвестного летающего объекта (НЛО).}

_{Д-р Зета.Хотя ни одного свободного места не было, управляющий гостиницей все же нашел способ устроить пилота: он попросил каждого обитателя гостиницы переселиться в комнату с номером на единицу больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, и поселил командира НЛО в освободившийся первый номер.}

_{Д-р 3ета.На следующий день в гостиницу прибыли 5 супружеских пар, совершавших свадебное путешествие. Управляющий и тут не растерялся и, переселив каждого обитателя гостиницы в комнату с номером на 5 больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, отвел супружеским парам освободившиеся комнаты с номерами от 1 до 5.}

_{Д-р 3ета.В конце недели в гостиницу нагрянули участники съезда продавцов жевательной резинки. Их было бесконечно много.}

_{Д-р Герман.Я в силах понять, как управляющий гостиницы «Бесконечность» мог бы разместить любое конечное число вновь прибывших, но как разместить бесконечное множество гостей?}

_{Д-р 3ета.Управляющий легко справился и с этой задачей: каждого обитателя гостиницы он переселил в комнату с номером вдвоебольше, чем у той, которую тот занимал прежде.}

_{Д-р Герман.Понял! Все прежние постояльцы гостиницы оказались после переселения в комнатах с четными номерами, а бесконечное множество освободившихся комнат с нечетными номерами управляющий предоставил продавцам жевательной резинки.}

Ни одно

конечное множество невозможно поставить во взаимно-однозначное соответствие с любым из его собственных подмножеств. В случае бесконечных множеств такое утверждение неверно. Бесконечные множества нарушают старое правило «часть меньше целого». Бесконечное множество можно определить как множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с собственным подмножеством.

Управляющий гостиницей «Бесконечность» сначала показал, что множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с одним из его собственных подмножеств, вычеркивая из исходного множества один или пять элементов. Тот же прием позволяет устанавливать взаимно-однозначное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством, получаемым при вычеркивании любого конечного числа элементов.

Вычеркиванию элементов можно придать несколько более драматический характер. Представим себе, что на столе перед нами лежат шкала к шкале две бесконечные линейки с равномерными сантиметровыми делениями. Нулевые отметки на обеих шкалах совмещены и находятся в центре стола. Деления с отметками простираются неограниченно далеко вправо, причем между отметками существует взаимно-однозначное соответствие: 0–0, 1–1, 2–2 и т. д. Сдвинем теперь одну из линеек на nсм вправо.

После этой операции деления сдвинутой линейки по-прежнему будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с делениями неподвижной линейки: если линейка была сдвинута, например, на 3 см, то между делениями установится взаимно-однозначное соответствие 0–3, 1–4, 2–5… Выступающий влево отрезок нижней линейки длиной nсм соответствует величине сдвига, но та часть шкалы неподвижной линейки, которая совпадает со шкалой сдвинутой линейки, имеет бесконечную длину. Поскольку величине сдвига nможно придавать любые значения, мы можем вычеркивать из бесконечного множества любое конечное число nэлементов и получать бесконечное множество, содержащее столько же элементов, сколько их было в исходном множестве.

Своим последним маневром управляющий гостиницей освободил бесконечное множество комнат.

Это означает, что, вычитая из бесконечности бесконечность, можно получить снова бесконечность.

Действительно, множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством всех четных чисел. Если из всех натуральных чисел вычеркнуть четные, то останется бесконечное множество нечетных чисел.

Лестница алефов

< image l:href="#" />

_{Гостиница «Бесконечность» — лишь один из многих парадоксов, связанных с бесконечностью. Существует много различных, бесконечностей! Множество натуральных чисел — самая «бедная» из бесконечностей, занимающая низшую ступень бесконечной иерархии. Вторая ступень соответствует бесконечности множества точек во Вселенной, а третья ступень — ещё большей бесконечности!}

_{Немецкий математик Георг Кантор, открывший лестницу бесконечностей, ввел для каждой ступени специальные обозначения: алеф-нуль, алеф-один, алеф-два и т. д.}

Кардинальноечисло множества — это число элементов в нем. Например, кардинальное число множества букв слова «КОТ» равно 3. Любое конечное множество имеет конечное кардинальное число. Георг Кантор открыл, что одни бесконечные множества могут быть «больше» других. Кардинальные числа бесконечных множеств он обозначил первой буквой древнееврейского алфавита, которая называется «алеф» (

).

Индекс у алефа указывает порядковый номер ступени в иерархии бесконечностей.