Большая Советская Энциклопедия (МО)

Большая Советская Энциклопедия

Задача математического анализа, состоящая в том, чтобы охарактеризовать свойства функции f (x ) по свойствам последовательности её М.:

носит название проблемы моментов. Эта задача впервые рассматривалась П. Л. Чебышевым в 1874 в связи с исследованиями по теории вероятностей (попытка доказать центральную предельную теорему). Позже при исследовании этой задачи возникли новые мощные методы математического анализа.

Лит.: Чебышев П. Л., Избр. труды, М., 1955; Марков А. А., Избр. труды, М., 1951; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962.

Момент вращающий

Моме'нт враща'ющий, см. Вращающий момент .

Момент

инерции

Моме'нт ине'рции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

где m_i — массы точек тела, h_i — их расстояния от оси z , r — массовая плотность, V — объём тела. Величина I_z является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. Вращательное движение ). Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину k , называемую радиусом инерции, по формуле I_z = Mk² , где М — масса тела. Размерность М. и. — L²M ; единицы измерения — кг xм² или г xсм² .

Центробежным М. и. относительно системы прямоугольных осей х, у, z , проведённых в точке О , называют величины, определяемые равенствами:

или же соответствующими объёмными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси z от значений I_xz и I_yz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.

М. и. относительно параллельных осей z и z' связаны соотношением

I_z = I_z' + М d² (3)

где z' — ось, проходящая через центр масс тела, a d — расстояние между осями (теорема Гюйгенса).

М. и. относительно любой, проходящей через начало координат О оси Ol с направляющими косинусами a, b, g находится по формуле:

l_ol = I_x a² + I_y b² + I_z g² — 2I_xy ab — 2I_yz bg — 2I_zx ga. (4)

Зная шесть величин I_x , I_y , I_z , I_xy , I_yх , I_zx , можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести 3 такие взаимно-перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых I_xy = I_yz = I_zx = 0. Тогда М. и. тела относительно любой оси можно определить, зная главные оси инерции и М. и. относительно этих осей.

М. и. тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Понятием о М. и. широко пользуются при решении многих задач механики и техники.

Лит.: Краткий физико-технический справочник, под общ. ред. К. П. Яковлева, т. 2, М., 1960, с. 94—101; Фаворин М. В., Моменты инерции тел. Справочник, М., 1970; Гернет М. М., Ратобыльский В. Ф., Определение моментов инерции, М., 1969; см. также лит. при ст. Механика .

С. М. Тарг.

Момент количества движения

Моме'нт коли'чества движе'ния, кинетический момент, одна из мер механического движения материальной точки или

системы. Особенно важную роль М. к. д. играет при изучении вращательного движения . Как и для момента силы , различают М. к. д. относительно центра (точки) и относительно оси.

Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы все формулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количества движения mv . Т. о., k_o = [r · mu ], где r — радиус-вектор движущейся точки, проведённый из центра О , a k_z равняется проекции вектора k_o на ось z , проходящую через точку О . Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента m_o (F ) приложенной силы и определяется теоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dk_o /dt = m_o (F ). Когда m_о (F ) = 0, что, например, имеет место для центральных сил, движение точки подчиняется площадей закону . Этот результат важен для небесной механики, теории движения искусственных спутников Земли, космических летательных аппаратов и др.

Главный М. к. д. (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси z равен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительно того же центра или оси, т. е. K_o = Sk_oi , K_z = Sk_zi . Вектор K_o может быть определён его проекциями K_x , K_y , K_z на координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w, K_x = — I_xz w, K_y = —I_yz w, K_z = I_z w, где l_z — осевой, а I_xz , l_yz — центробежные моменты инерции . Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то K_o = I_z w.

Изменение главного М. к. д. системы происходит под действием только внешних сил и зависит от их главного момента M_o^e . Эта зависимость определяется теоремой об изменении главного М. к. д. системы, выражаемой уравнением dK_o /dt = M_o^e . Аналогичным уравнением связаны моменты K_z и M_z^e . Если M_o^e = 0 или M_z^e = 0, то соответственно K_o или K_z будут величинами постоянными, т. е. имеет место закон сохранения М. к. д. (см. Сохранения законы ). Т. о., внутренние силы не могут изменить М. к. д. системы, но М. к. д. отдельных частей системы или угловые скорости под действием этих сил могут изменяться. Например, у вращающегося вокруг вертикальной оси z фигуриста (или балерины) величина K_z = I_z w будет постоянной, т. к. практически M_z^e = 0. Но изменяя движением рук или ног значение момента инерции l_z , он может изменять угловую скорость w. Др. примером выполнения закона сохранения М. к. д. служит появление реактивного момента у двигателя с вращающимся валом (ротором). Понятие о М. к. д. широко используется в динамике твёрдого тела, особенно в теории гироскопа.