Большая Советская Энциклопедия (НЕ)

Большая Советская Энциклопедия

Н., в которые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, неравенство x² — 4x + 3 > 0 верно при х = 4 и неверно при х = 2. Для Н. этого типа возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в которых следует брать входящие в Н. величины для того, чтобы Н. были справедливы. Так, переписывая неравенство x² — 4x + 3 > 0 в виде: (х — 1)(х — 3) > 0,

замечают, что оно будет верно для всех х, удовлетворяющих одному из следующих неравенств: х < 1, х > 3, которые и являются решением данного Н.

Укажем несколько типов Н., выполняющихся тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных.

1) Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел a₁ , a₂ ,..., a_n справедливо Н.

|a₁ + a₂ + … + a_n I lb Ia₁ | + Ia₂ I +... + Ia_n |.

2) Неравенство для средних. Наиболее известны Н., связывающие гармонические, геометрические, арифметические и квадратические средние:

3) Линейные неравенства. Рассматривается система Н. Вида

a_i1 x₁ + a_i2 x₂ +... + a_in x_n (b_i &sup3; i = 1, 2,..., m ).

Совокупность решений этой системы Н. представляет собой некоторый выпуклый многогранник в n– мepном пространстве (x₁ , x₂ ,..., x_n ); задача теории линейных Н. состоит в том, чтобы изучить свойства этого многогранника. Некоторые вопросы теории линейных Н. тесно связаны с теорией наилучших приближений , созданной П. Л. Чебышевым .

См. также Бесселя неравенство , Буняковского неравенство , Гельдера неравенство , Коши неравенство , Минковского неравенство .

Н. имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины — диофантовы приближения — полностью основан на Н.; аналитическая теория чисел тоже часто оперирует с Н. В алгебре даётся аксиоматическое обоснование Н.; линейные Н. играют большую роль в теории линейного программирования . В геометрии Н. постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрических задачах . В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью Н. (см., например, Чебышева неравенство ). В теории дифференциальных уравнений используются так называемые дифференциальные

Н. (см., например, Чаплыгина метод ). В теории функций постоянно употребляются различные Н. для производных от многочленов и тригонометрических полиномов. В функциональном анализе при определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла Н. треугольника

||х + у || lb ||x || + ||y ||.

Многие классические Н. в сущности определяют значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или ином пространстве или дают оценки для них.

Лит.: Коровкин П. П., Неравенства, 3 изд., М., 1966; Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948.

Неравновесное состояние

Неравнове'сное состоя'ние, в термодинамике состояние системы, выведенной из равновесия термодинамического ; в статистической физике — из состояния статистического равновесия. В системе, находящейся в Н. с., происходят необратимые процессы , которые стремятся вернуть систему в Состояние термодинамического (или статистического) равновесия, если нет препятствующих этому факторов — отвода (или подвода) энергии или вещества из системы. В противном случае возможно стационарное Н. с. (не изменяющееся со временем). Н. с. изучаются термодинамикой неравновесных процессов и статистической теорией неравновесных процессов.

Неравновесные процессы

Неравнове'сные проце'ссы, в термодинамике и статистической физике — физические процессы, включающие неравновесные состояния . Примеры: процесс установления равновесия (термодинамического или статистического) в системе, находившейся ранее в неравновесном состоянии; переход системы из равновесного состояния в неравновесное или из одного неравновесного состояния в другое под влиянием внешних возмущений. В неизолированных системах Н. п. могут протекать стационарно (без изменения физического состояния системы, пример — теплопередача теплопроводностью при постоянной разности температур). Н. п. являются необратимыми процессами , связанными с производством энтропии .

Неравномерности экономического и политического развития капитализма закон

Неравноме'рности экономи'ческого и полити'ческого разви'тия капитали'зма зако'н в эпоху империализма, основное содержание созданного В. И. Лениным, развитого КПСС и др. коммунистическими и рабочими партиями учения об общих закономерностях развития капитализма, международных отношений капиталистических стран в эпоху империализма, о международных условиях победы социалистической революции.

Неравномерность — диспропорциональность, дисгармоничность, антагонистичная конфликтность — является общей чертой капитализма. «... При капитализме, — писал В. И. Ленин, — немыслимо иное основание для раздела сфер влияния, интересов, колоний и пр., кроме как учет силы участников дележа, силы общеэкономической, финансовой, военной и т.д. А сила изменяется неодинаково у этих участников дележа, ибо равномерного развития отдельных предприятий, трестов, отраслей промышленности, стран при капитализме быть не может» (Полное собрание соч., 5 изд., т. 27, с. 417). Особенность эпохи домонополистического капитализма заключалась в том, что социальные противоречия, назревавшие внутри него, смягчались путём колониальной экспансии в слаборазвитые в экономическом отношении районы мира, массовой эмиграции в переселенческие колонии.