Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)

Большая Советская Энциклопедия

М. С. Рабинович.

В. И. Векслер.

Вектор

Ве'ктор (от лат. vector, буквально — несущий, перевозящий), в геометрическом смысле — направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (называемое также точкой приложения В.) и конец. Для обозначения В. используются либо жирные латинские буквы а, b, либо буквы обычного алфавита с чёрточками или стрелками наверху:

В., имеющий начало в точке А и конец в точке В, обозначается

. Прямая, на которой расположен В.,

называется линией действия данного В.

Понятие В. возникло в связи с изучением величин, характеризуемых численным значением и направленностью (например, перемещение, скорость и ускорение движущейся материальной точки, действующая на неё сила и т.п.). В механике и физике рассматривают свободные, скользящие и связанные В. Вектор называется свободным, если его значение не меняется при произвольном параллельном переносе. Свободным В. является, например, скорость движения материальной точки. В. называется скользящим, если его значение не меняется при любом параллельном переносе вдоль линии его действия. Примером скользящего В. может служить сила, действующая на абсолютно твёрдое тело (две равные и расположенные на одной прямой силы оказывают на абсолютно твёрдое тело одинаковое воздействие). В. называется связанным, если фиксировано его начало. Например, сила, приложенная к некоторой точке упругого тела, представляет собой связанный В. Свойства свободных В. изучаются средствами векторной алгебры (см. Векторное исчисление ). Общее понятие В. как элемента, так называемого, векторного пространства определяется аксиоматически.

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.

Э. Г. Позняк.

Вектор состояния

Ве'ктор состоя'ния, величина, играющая в квантовой теории поля такую же роль, как волновая функция в квантовой механике . Квадрат абсолютного значения (модуля) В. с. указывает вероятность состояния.

Векторкардиография

Векторкардиогра'фия (от вектор, греч. kard'ia — сердце и ...графия ), метод пространственного (объёмного) исследования электрического поля сердца; один из видов электрокардиографии . В. предложена в 1913 голландским учёным В. Эйнтховеном.

Векторметр

Векторме'тр, электрический прибор для измерений среднего значения силы и фазы переменного тока или электрического напряжения. При отсутствии в измеряемой величине чётных гармоник В. позволяет измерять мгновенные значения силы тока и напряжения и строить кривые их изменения во времени. На рис. приведена схема, поясняющая принцип действия В.: исследуемое переменное напряжение U_x подаётся на зажимы магнитоэлектрического вольтметра V через прерыватель К, который работает под воздействием электромагнита, включенного на вспомогательное управляющее напряжение U_K . При совпадении по фазе напряжения U_x с напряжением U_K контакты К замыкаются и остаются в таком положении на протяжении положительного полупериода изменения U_x , в этом случае вольтметр покажет половину среднего значения напряжения U_x . При изменении фазы напряжения U_x по отношению к фазе напряжения U_K на вольтметр будет подаваться в течение некоторой части периода отрицательное напряжение второго полупериода, и показание прибора уменьшится. При сдвиге фаз U_K и U_x на 90° вольтметр покажет 0. Источник управляющего напряжения снабжается устройством (со шкалой) для отсчёта фазы U_K . Изменяя фазу U_K до получения максимального показания вольтметра, то есть до совпадения по фазе напряжений U_K и U_x , находят по шкале источника управляющего напряжения фазу U_x . Промышленность СССР изготовляет В. такого типа с синхронным микродвигателем в качестве прерывателя К. Эти приборы, предназначенные для измерений в цепях переменного тока с частотой 50 гц, имеют пределы измерений по напряжению от 0,15 до 300 в, по силе тока от 0,003 до 5 а и по фазе от 0 до 360°. Пределы измерений могут быть изменены при дополнительном включении наружных шунтов, отдельных добавочных сопротивлений и измерительных трансформаторов. В. применяют при лабораторных исследованиях сложных электрических схем и устройств, а также при испытании магнитных свойств электротехнических сталей.

Н. Г. Вострокнутов.

Схема действия векторметра.

Векторная диаграмма

Ве'кторная диагра'мма, графическое изображение значений периодически изменяющихся величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов .

В. д. широко применяются в электротехнике, акустике, оптике и т. п.

Простые гармонические функции одного периода, например

a₁ = B₁ sinwt, f₂ = B₂ sin(a + wt ),

f₃ = B₃ sin(b + wt ),

могут быть представлены графически (рис .) в виде проекции на ось О_у векторов

 вращающихся с постоянной угловой скоростью w , причём

 и

 повёрнуты относительно

 на углы a и b . Длина векторов соответствует амплитудам колебаний:

Сумма или разность двух и более колебаний на В. д. обозначается как геометрическая сумма или разность векторов составляющих колебаний, полученная по правилу параллелограмма, а мгновенное значение искомой величины определяется проекцией вектора суммы на ось Оу.

Например, требуется найти сумму F колебаний f₁ с амплитудой

 и f₂ амплитудой

. При геометрическом сложении векторов

 и

 по В. д. находим, что амплитуда суммарного колебания F равна длине вектора

 и опережает по фазе колебание f₁ на угол j .

Рис. к ст. Векторная диаграмма.

Векторное исчисление

Ве'кторное исчисле'ние, математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой математическую абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и направленностью (например, сила, ускорение, скорость).

Возникновение и развитие В. и. Возникновение В. и. тесно связано с потребностями механики и физики. До 19 в. для задания векторов использовался лишь координатный способ, и операции над векторами сводились к операциям над их координатами. Лишь в середине 19 в. усилиями ряда учёных было создано В. и., в котором операции проводились непосредственно над векторами, без обращения к координатному способу задания. Основы В. и. были заложены исследованиями английского математика У. Гамильтона и немецкого математика Г. Грасмана по гиперкомплексным числам (1844—50). Их идеи были использованы английским физиком Дж. К. Максвеллом в его работах по электричеству и магнетизму. Современный вид В. и. придал американский физик Дж. Гиббс. Значительный вклад в развитие В. и. внесли русские учёные. В первую очередь следует отметить работы М. В. Остроградского. Им была доказана основная теорема векторного анализа (см. Остроградского формула ). Исследования казанского математика А. П. Котельникова по развитию винтового исчисления имели важное значение для механики и геометрии. Эти исследования были продолжены советскими математиками Д. Н. Зейлигером и П. А. Широковым. Большое влияние на развитие В. и. имела книга «Векторный анализ», написанная в 1907 русским математиком П. О. Сомовым.

Векторная алгебра. Вектором называют направленный отрезок (рис. 1 ), то есть отрезок, у которого указаны начало (называется также точкой приложения вектора) и конец. Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора a обозначается |a |. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными. Изображенные на рис. 1 векторы а и b коллинеарны и равны. В В. и. рассматриваются свободные векторы.