Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)
Шрифт:
В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Суммой а +b векторов а и b называют вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора а (рис. 2 ). Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов (рис. 3 ), источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу. Построение суммы нескольких векторов ясно из рис. 4 . Произведением aа вектора а на число a называется вектор, коллинеарный
1) а +b =b +a ,
2) (a +b ) +c =a + (b + c ),
3) а + = а ,
4) a + (– a ) = ,
5) 1 · a =a ,
6) a (ba ) = (ab )a ,
7) a (a +b ) = aа + ab ,
8) (a + b )a = aa + ba .
В векторной алгебре часто используется понятие линейно зависимых и линейно независимых векторов. Векторы a1 , a2 , ..., a n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа a1 , a2 ,..., an из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация (a1a1 +... + anan ) этих векторов равна нулю. Векторы a1 , a2 ,...,an , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Отметим, что любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми.
Векторы евклидова пространства обладают следующим свойством: существуют три линейно независимых вектора, любые же четыре вектора линейно зависимы. Это свойство характеризует трехмерность рассматриваемого множества векторов. В сочетании с перечисленными выше свойствами указанное свойство означает, что совокупность всех векторов евклидова пространства образует, так называемое, векторное пространство . Линейно независимые векторы e2 , e2 , e3 , образуют базис. Любой вектор а может быть единственным образом разложен по базису: а = Xe2 + Ye2 + Ze3 ; коэффициенты X, Y, Z называются координатами (компонентами) вектора а в данном базисе. Если вектор а имеет координаты X, Y, Z , то это записывают так: а = 'iX, Y, Z 'y. Три взаимно ортогональных (перпендикулярных) вектора, длины которых равны единице и которые обычно обозначают так: i, j, k , образуют, так называемый ортонормированный базис. Если эти векторы поместить началами в одну точку О, то они образуют в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Координаты X, Y, Z любой точки М в этой системе определяются как координаты вектора ОМ (рис. 5 ). Указанным выше линейным операциям над векторами отвечают аналогичные операции над их координатами: если координаты векторов а и b равны соответственно 'iX1 , Y1 , Z1 'y и 'iX2 , Y2 , Z2 'y, то координаты суммы а +b этих векторов равны 'iX1 + X2 , Y1 + Y2 , Z1 + Z2 'y, координаты вектора la равны 'ilX1 + lY1 + lZ1 'y.
Развитие и применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения векторов возникает, например, при рассмотрении работы силы F на заданном пути S : работа равна |F ||S |cosj, где j — угол между векторами F и S . Математически скалярное произведение векторов а и b определяется как число, обозначаемое (а , b ) и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(a , b ) = |a ||b |cosj.
Величина |b |cosj называется проекцией вектора b на ось, определяемую вектором а , и обозначается прa b . Поэтому (a, b ) = |a |прa b . В частности, если a — единичный вектор (|a | = 1 ), то (а, b ) = прa b . Очевидны следующие свойства скалярного произведения:
(а , b ) = (b , а ), (lа , b ) = l (а , b ),
(а +b , с ) = (а , с ) + (b , с ), (a , а ) ³ 0,
причём равенство нулю имеет место лишь приa = . Если в ортонормированном базисе i, j, k векторы а и b имеют соответственно координаты 'iX1 , Y1 , Z1 'y и 'iХ2 , Y2 , Z2 'y, то (a , b ) = X1 X2 + Y1 Y2 + Z1 Z2,
Для определения векторного произведения векторов нужно понятие левой и правой упорядоченной тройки векторов. Упорядоченная тройка векторов а, b, с (а— первый вектор, b — второй, с — третий), приведённых к общему началу и не лежащих в одной плоскости, называется правой (левой), если они располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. На рис. 6 изображены справа — правая, а слева — левая тройки векторов.