Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)

Большая Советская Энциклопедия

Векторным произведением векторов a и b называют вектор, обозначаемый [a, b ] и удовлетворяющий следующим требованиям: 1) длина вектора [a, b ] равна произведению длин векторов a и b на синус угла j между ними (таким образом, если a и b коллинеарны, то [a, b ] = ); 2) если a и b неколлинеарны, то [a, b ] перпендикулярен каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a , b, [a, b ] является правой. Векторное произведение обладает следующими

свойствами:

[a , b ] = — [b , а ], [(la ), b ] = l [a , b ],

[с , (a +b )] = [с , a ] + [с , b ], [a , [b , с ]] =b (a , с ) — с (a , b ),

([a , b ], [с , d ]) = (a , c )(b , d ) — (a , d )(b , c ).

Если в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, векторы a и b имеют соответственно координаты 'iX₁ , Y₁ , Z₁ 'y и 'iX₂ , Y₂ , Z₂ 'y, то [a, b ] = 'iY₁ Z₂ — Y₂ Z₁ , Z₁ X₂ — Z₂ X₁ , X₁ Y₂ — X₂ Y₁ 'y. Понятие векторного произведения связано с различными вопросами механики и физики. Например, скорость v точки М тела, вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси l, равна [w, r ], где

Смешанным произведением векторов a, b и c называется скалярное произведение вектора [a, b ] на вектор с : ([a, b ], с ). Обозначается смешанное произведение символомabc . Смешанное произведение не параллельных одной плоскости векторов a , b и с численно равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a , b и с , взятому со знаком плюс, если тройка a , b и с правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы a , b и с параллельны одной плоскости, тоabc = 0 . Справедливо также следующее свойствоabc =bca =cab . Если координаты векторов a , b и с в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, соответственно равны 'iX₁ , Y₁ , Z₁ 'y, 'iX₂ , Y₂ , Z₂ 'y и 'iХ₃ , Y₃ , Z₃ 'y, то

Вектор-функции скалярных аргументов. В механике, физике, дифференциальной геометрии широко используется понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных аргументов. Если каждому значению переменной t из некоторого множества 'it 'y ставится в соответствие по известному закону определённый вектор r , то говорят, что на множестве 'it 'y задана вектор-функция (векторная функция) r =r (t ). Так как вектор r определяется координатами 'ix, y, z 'y, то задание вектор-функции r = r (t ) эквивалентно заданию трёх скалярных функций: х = x (t ), y = y (t ), z = z (t ). Понятие вектор-функции становится особенно наглядным, если обратиться к так называемому годографу этой функции, то есть к геометрическому месту концов всех векторов r (t ), приложенных к началу координат О (рис. 7 ). Если при этом рассматривать аргумент t как время, то вектор-функция r (t ) представляет собой закон движения точки М, движущейся по кривой L — годографу функции r (t ).

Для изучения вектор-функций важную роль играет понятие производной. Это понятие вводится следующим образом: аргументу t придаётся приращение Dt ¹ 0 и вектор Dr =r (t + Dt ) — r (t ) (на рис. 7 это вектор

) множится на 1/Dt . Предел выражения Dr /Dt при Dt ® 0 называется производной вектор-функции r (t ) и обозначается r ' (t ) или dr /dt . Производная представляет собой вектор, касательный к годографу L в данной точке М. Если вектор-функция рассматривается как закон движения точки по кривой L, то производная r ' (t ) равна скорости движения этой точки. Правила вычисления производных различных произведений вектор-функций подобны правилам вычисления производных произведений обычных функций. Например,

(r₁ , r₂ )' = (r '₁ , r₂ ) + (r₁ , r '₂ ),

[r₁ , r₂ ]’ = [r '₁ , r₂ ] + [r₁ , r '₂ ].

В дифференциальной геометрии вектор-функции одного аргумента используются для задания кривых. Для задания поверхностей пользуются вектор-функциями двух аргументов.

Векторный анализ. В механике, физике и геометрии широко используются понятия скалярного и векторного поля. Температура неравномерно нагретой пластинки, плотность неоднородного тела представляют собой физические примеры соответственно плоского и пространственного скалярного поля. Векторное поле образует множество всех векторов скоростей частиц установившегося потока жидкости. Примерами векторных полей могут служить также поле силы тяжести, магнитное и электрическое напряжение электромагнитного поля.

Для математического задания скалярных и векторных полей используются соответственно скалярные и векторные функции. Ясно, что плотность тела представляет собой скалярную функцию точки, а поле скоростей частиц установившегося потока жидкости — векторную функцию точки. Математический аппарат теории поля обычно называют векторным анализом. Для геометрической характеристики скалярного поля используются понятия линий и поверхностей уровня. Линией уровня плоского скалярного поля называется линия, на которой функция, задающая поле, имеет постоянное значение. Аналогично определяется поверхность уровня пространственного поля. Примерами линии уровня могут служить изотермы — линии уровня скалярного поля температур неравномерно нагретой пластинки.

Обратимся к поверхности (линии) уровня скалярного поля, проходящей через данную точку М. При смещении по нормали к этой поверхности (линии) в точке М наблюдается максимальное изменение в этой точке функции f задающей поле. Это изменение характеризуется с помощью градиента скалярного поля. Градиент представляет собой вектор, направленный по нормали к поверхности (линии) уровня в точке М в сторону возрастания f этой точке. Величина градиента равна производной f указанном направлении. Обозначается градиент символом gradf . В базисе i, j k градиент grad f имеет координаты