Другое начало
Шрифт:
Из-за неуловимости точки нельзя было сосчитывать точки. Поэтому нельзя было, строго рассуждая, сказать, что точек больше чем одна — еще один парадокс. Он, кстати, и был решением проблемы Ахиллеса и черепахи: как только они оба превратились в точечные массы, стало невозможно говорить что они разные, что они не одна и та же точка. Вспомним старое и в сущности не так уж давно забытое. Для кардинала Николая Кузанского равенство всех точек мира одной единственной не гипотеза, а несомненность, хотя и неочевидная, подлежащая математическому доказательству. Трактат «Простец об уме» заглавием гл. 9 имеет: «Существует одна-единственная точка». § 118:
Линия имеет только одну точку, которая, будучи продолженной, и оказывается линией.
О линии как продолжении точки придется еще говорить
Во всех атомах — одна и та же точка, как во всех белых вещах — одна и та же белизна.
Точка «неразмножима» (Игра шара I 10; II 84; Наука незнания II 3, 105).
Альберт. Я не очень хорошо это понимаю. Объясни, пожалуйста, почему точка не размноживается и не получается много точек, хотя повсюду в количественном мы видим [массы точек]?
Кардинал. Во всем белом ум видит белизну, но белизна, разумеется, все равно остается единственной. Так во всех атомах он видит точку, но из-за этого точек не становится много.
Единственность точки демонстрируется в мысленном эксперименте с Ахиллесом и черепахой от противного через невозможность наведения, нацеливания и попадания одной точкой в другую. Выбрать точку из бесконечности смогли только лимитировав бесконечность внесением в нее системы координат и постулировав фиксацию точки в ней. Ахиллес и черепаха — отрезвляющий эксперимент, показывающий между прочим невозможность проведения линии между, приходится брать в кавычки, «двумя точками».
Только кажется, что эксперимент абстрагируется от, так сказать, геометрической возможности догнать черепаху. Кто-нибудь подумает: пусть Ахиллес не в состоянии из выплескивающихся перед ним бесконечностей точек выбрать и уловить одну нужную, но не может ли он, так сказать, с закрытыми глазами скользить по прямой, проведенной от его точки к точке черепахи. Рано или поздно он невольно столкнется с уловляемой точкой, даже если сам не сумеет отчетливо фиксировать момент. Столкновение кажется очевидным. Хорошо, если читателю придет в голову это возражение. Оно необходимо для понимания еще одного парадокса точки. Он в следующем.
4. У Евклида возможность провести от любой точки до любой точки прямую линию — это постулат, т.е. требование-допущение. Евклид требует, чтобы такое проведение точки было возможно, так ему нужно для его геометрии; его слушатель со своей стороны допускает, дает разрешение в ответ на такое требование. Я читаю в довольно простой книге по истории математики напоминание о том, что между аксиомами и постулатами следует различать. Различение действительно нужное, хотя даже в справочниках часто смешивают аксиомы и постулаты. Евклид просит принять, что прямую между двумя точками провести можно. Всего у него пять постулатов, , начинающихся словом , пусть будет попрошено, пусть мы попросим.
Постулат — это лишь принцип, который геометр предлагает своему собеседнику принять, но который не является ни ‘очевидным’, ни ‘аксиоматическим’ и который можно отвергнуть, не приходя к противоречию. По-видимому, Евклид придерживался аристотелевской позиции, согласно которой постулаты интерпретировались как простые ‘гипотезы’; они будут подтверждены, если выведенные из них следствия будут соответствовать действительности […] Позиция последователей Евклида была более примитивной: вплоть до XIX века геометры видели в постулатах евклидовой геометрии неопровержимые истины, применяемые для описания чувственного мира [235] .
235
Даан-Дальмедико, А. Пфейффер Ж. Пути и лабиринты…, с. 75.
Чтобы провести прямую от точки к точке, надо ту точку уже из бесконечности точек выделить, т.е. сначала решить парадокс Ахиллеса и черепахи. Только тогда можно будет считать первый постулат Евклида аксиомой; наоборот поступать нельзя. Перед Ахиллесом, не знающим Евклида,
Когда думают, что Лобачевский сначала имел в воображении (есть почти технический термин, воображаемая геометрия Лобачевского) другое, искривленное пространство по типу, скажем, гиперболы, а потом на нем построил геометрию, в которой параллельные пересекаются, то опять перевертывают наоборот. Воображаемым — условным, предполагающим снятие парадокса точки — было Евклидово пространство, а в чистом, допостулатном (до Евклидовых прошений и наших мало продуманных разрешений) пространстве Парменида-Зенона проблемы проведения через точку больше чем одной параллельной прямой не существует. Эта проблема вполне отменяется другой, остановившей ум гораздо раньше, проблемой с проведением прямой через точку, и еще раньше — проблемой с фиксацией точки: точка только одна, она не прибавляется к другой точке и не сопоставляется с ней, она неуловимо ускользает. «Точки», которые соединены «прямой», — уже следствие позднего условия и договора; непересечение параллельных — лишь следствие из этой условности. Лобачевский вышел из условного воображаемого пространства, не согласившись принять постулат за аксиому.
То, что никак нельзя между собой соотнести, нельзя считать на счет один, два, три. В любом масштабе искомая точка окажется передо мной, точечным гонящимся за нею Ахиллесом, всегда отделена от меня бесконечностью точек, раз уж я представил (постулировал) ее находящейся вне меня самого, другой, второй относительно меня.
5. По-честному Ньютон или, вернее, сознание, оперирующее точечными массами, после редукции тел к точечным массам должно было бы одновременно с их выделением сразу же и потерять их в пространстве, а поскольку в точки превращены все тела, то и пространство тоже потерять. По меньшей мере странно, что «наука», беря в кавычки это слово, чтобы обозначить то, что Ницше назвал победой произвола над духом подлинной научности, не потеряла точку и фиксировала ее в «системе координат». Теперь на излете новоевропейского научного предприятия приходится запоздало жалеть, что наука ту точку не потеряла. Она потеряла взамен вообще пространство мира.
В соотношениях неопределенностей Вернера Гейзенберга замечена невозможность точечной массы. Грубо говоря, вы можете иметь массу, но тогда не можете установить ее точное местоположение в системе координат, и наоборот, если вы хотите говорить о точке точно, то тогда уже не можете определить ее массу. В контексте квантовой физики корректнее говорить не о массе, а об импульсе. Суть дела однако в том, что тем же ходом, или приемом, каким неуловимость точки обойдена в новоевропейской математике через понятие предела, который остается всего лишь постулатом, требованием и допущением, как у Евклида возможность прямой между точками это постулат, — таким же приемом в новоевропейской классической механике обойдена, не замечена неуловимость точечной массы; и таким же образом в квантовой механике напросившаяся, буквально подвернувшаяся под руки неуловимость точечного импульса не стала опытом, была обойдена при помощи той самой формулы, которая описала эту неуловимость. Потому что формула Гейзенберга в свою очередь была включена в научные расчеты. Квантовая механика в главном, в приеме ухода от неуловимости точки и тем самым от бесконечности, продолжает так называемую классическую. Если природа ускользает в принципиальную неопределенность и неопределимость — в данном случае опыт этого ускользания был достигнут в строгой и достигшей большого размаха науке физики, — то само это ускользание, сама неподрасчетность вводится наукой в строгий расчет. Формализуется несводимость к формуле. Формализация названа соотношением неопределенностей квантовой механики, т.е. учитывающей как раз скачки, которые под руками ученого внутри точных приборов делала природа, вырываясь из прослеживаемости, когда переход «элементарной частицы» с одного «энергетического уровня» на другой оказывался внезапным и невычислимым. По сути математизация ускользания элементарной частицы была аналогична превращению тела в точечную массу. Отказ в квантовой механике от заглядывания в бытие, фиксацию только статистических закономерностей выдают за отход от классической «метафизической» модели, но по существу здесь продолжение новоевропейского отказа от вглядывания в предел.