Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики
Шрифт:
Fx.=Fxcos?+Fysm?,
Fy.=Fycos? — Fxsm?, (11.6)
Fz' = Fz
Интересно отметить случайность, которая в дальнейшем окажется очень важной: формулы (11.5) и (11.6) для координат Р и составляющих F соответственно тождественны по форме. Как и раньше, предположим, что законы Ньютона справедливы в системе координат Джо и выражаются уравнениями (11.1). Снова возникает вопрос: может ли Мик пользоваться законами Ньютона, будут ли их предписания выполняться в повернутой системе координат? Другими словами, если предположить, что уравнения (11.5) и (11.6) дают связь между измеряемыми величинами, то верно ли, что
Чтобы проверить эти уравнения, вычислим левые и правые части независимо, а затем сравним результаты. Чтобы вычислить левые части, умножим уравнения (11.5) на m и продифференцируем их дважды по времени, считая угол 9 постоянным. Это дает
Вычислим правые части уравнений (11.7), подставив (11.1] в уравнения (11.6). Получаем
Глядите! Правые части уравнений (11.8) и (11.9) тождественны; значит, если законы Ньютона верны в одной системе координат, то ими можно пользоваться и в другой системе. Эти рассуждения заставляют нас сделать некоторые важные выводы: во–первых, никто не может утверждать, что избранная им система координат единственна, она может быть, конечно, более удобной при решении частных задач. Например, удобно, но не обязательно взять направление силы тяжести за одну из осей координат. Во–вторых, это означает, что любой механизм, если только он является самостоятельным устройством и обладает всем необходимым для создания силы, будет работать одинаково, как бы его ни повернули.
§ 4. Векторы
Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, которые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических законов была разработана специальная математическая техника.
Решение поставленных в предыдущих параграфах задач потребовало довольно длинных расчетов. Чтобы свести их к минимуму, изобретен могучий математический аппарат. Эта система, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый результат, поступая так, как было описано раньше, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику векторного анализа.
Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, но давайте начнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто–нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е. определить направление его движения.
Все величины, имеющие направление, подобно шагу в пространстве, называются векторами.
Вектор определяется тремя числами. Чтобы описать шаг, скажем из начала координат в точку Р, определяемую координатами х, у и z, мы фактически должны задать три числа. Но мы будем использовать для этой цели один–единственный математический символ r, с которым нам чаще всего придется иметь дело в дальнейшем. Это не одно число: символ r задается тремя числами: х, у и z. Символ r означает три числа, но не только эти три числа, потому что при переходе к другой системе координат нужно заменить их числами х', у' и z'. Однако мы хотим как можно более упростить нашу математику и используем один и тот же символ в качестве представителя трех чисел х, у, z и трех чисел х', у', z'. Точнее говоря, мы используем один и тот же символ в качестве представителя первого набора чисел в одной системе координат и делаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему координат. Это удобно потому, что нам не придется изменять формы уравнений при переходе от одной системы координат к другой. Если мы записываем уравнения, используя координаты х, у и r, а затем меняем систему отсчета, то появляются координаты х', у' и z', но мы пишем просто r, условившись, что этот символ служит представителем х, у, z, если мы пользуемся первой системой отсчета, и х', у', z', если мы перешли к другой системе. Три числа, которые описывают векторную величину в заданной системе отсчета, называются составляющими (компонентами) вектора в направлении координатных осей системы отсчета. Иначе говоря, мы используем один символ для обозначения трех букв, и он соответствует наблюдению одного и того же объекта с трех разных точек зрения. Произнося слова «один и тот же объект», мы обращаемся к нашей физической интуиции, которая говорит нам, что шаг в пространстве не зависит от того, какими составляющими мы его описываем. Итак, символ r представляет один и тот же объект независимо от того, как мы ориентируем оси системы отсчета.
Предположим теперь, что существует другая направленная величина, например сила – еще одна величина, которую можно определить, задав связанные с ней три числа. Эти три числа переходят при изменении системы координат в другие три числа по строго определенным математическим правилам. Эти правила должны быть теми же самыми, которые определяли переход тройки чисел х, у, z в х' , у', z'. Другими словами, вектор – это величина, определяемая тремя числами, которые преобразуются при изменениях системы координат так же, как составляющие шага в пространстве. Уравнение типа
F = r
справедливо в любой системе координат, если оно верно хотя бы в одной из них. Оно заменяет нам три уравнения
Fx=x, Fy=y, Fz=z или соответственно
Fх'=х' ,Fу'=у' ,Fz'=z'.
Тот факт, что физические соотношения между какими–либо величинами можно выразить в виде векторных уравнений, говорит о том, что эти соотношения верны в любой системе координат. Вот почему понятие вектора очень удобно в физике.
Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примера «вектора» можно указать скорость, импульс, силу и ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она преобразуется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем такой масштаб, чтобы единица силы, например ньютон, соответствовала некоторой длине. Проделав такую процедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа
F=kr
(где k – некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл. Возможность представлять силу отрезком сулит нам большие выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к простому геометрическому построению.
§ 5. Векторная алгебра
Теперь мы должны описать законы, или правила, 'регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой–нибудь системе координат составляющими ах, ay, az и bx, by,bz. Предположим, что кому–то пришло в голову составить три числа ах+bx, ay+by, аг+bz. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа ах+bх, аy+by, az+bг, если известно, что при изменении системы координат числа ах, ау, az переходят в а'х, а'у, a'z, а bх, bу, bг переходят в b'x, b'y, b'г? Получим ли мы после поворота координатных осей числа а'х+b'x, a'y+b'y, a'z+b'z? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11:5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к ах и bх и вычислим ах+bx то окажется, что преобразованное ах+bх есть то же самое, что и ах+bх. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор c. Мы запишем это так: