Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по физике 1. Современная наука о природе, законы механики
Шрифт:

Фиг. 11 .7. Криволинейная траектория.

Фиг. 11.8, Диаграмма для вычисления ускорения.

Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно ?v/?t. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих: ?v? – вектора, параллельного касательной к пути, и вектора ?v?, перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы показаны на фиг. 11.8.

Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению величины скорости v:

a?=dv/dt. (11.15)

Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычислить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время ?t изменение угла между v1 и v2 равно малому углу ??. Если величина скорости равна v, то

?v?=v??, а ускорение а равно

а?=v(d?/dt).

Теперь нам нужно знать ??/?t. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время ?t частица пройдет расстояние s=v?t, изменение угла равно

??=v(?t/R) или ??/?t=v/R.

Таким образом, как мы уже установили ранее,

a=v2/R. (11.16)

§ 7. Скалярное произведение векторов

Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех координатных системах. Следовательно, если какому–то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие х', у', z' в другой системе, то расстояние r= |r| одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, должны ввести два расстояния,

а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не возиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты расстояний. Мы должны, таким образом, показать, что

x22+ z2=x'2+у'2+ г'2. (11.17)

Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения ж', у', z', мы увидим, что это действительно так. Значит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, существуют еще какие–то соотношения, верные в любой системе координат.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем построить функцию х, у и z, называемую скалярной функцией, – величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Собственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Определим теперь новую величину, которую обозначим аа. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляющих вектора:

aa=a2x+ a2y+a2z. (11.18)

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину

ab=axbx+ayby+ azbz, (11.19)

то

можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин аа, bb и сс, где с=а+b. Сумма квадратов (ax+bx)2+(ay+by)2+(az+bz)2 –инвариант:

x+bx)2+(аy+by)2+(аz+bг)2 = (аx'+bx')2 + (ay'+bу')2+(az,+bz')2. (11.20)

Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрестные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и b – выражения (11.18). Инвариантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина аb называется скалярным произведением двух векторов а и b и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

а• (b+c)=аb+ас. (11.21)

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления аb, при котором не надо определять составляющих а и b; просто аb есть произведение длин векторов а и b на косинус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую ах, которая равна длине вектора а. Таким образом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к ab=axbx, что равно произведению длины вектора а на составляющую вектора b по направлению а, которая в свою очередь равна bcos?, т. е.

Поделиться:
Популярные книги

Заплатить за все

Зайцева Мария
Не смей меня хотеть
Любовные романы:
современные любовные романы
эро литература
5.00
рейтинг книги
Заплатить за все

АН (цикл 11 книг)

Тарс Элиан
Аномальный наследник
Фантастика:
фэнтези
героическая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
АН (цикл 11 книг)

Я еще не князь. Книга XIV

Дрейк Сириус
14. Дорогой барон!
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Я еще не князь. Книга XIV

Уязвимость

Рам Янка
Любовные романы:
современные любовные романы
7.44
рейтинг книги
Уязвимость

Магия чистых душ 2

Шах Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.56
рейтинг книги
Магия чистых душ 2

Восход. Солнцев. Книга VI

Скабер Артемий
6. Голос Бога
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Восход. Солнцев. Книга VI

Кодекс Охотника. Книга XIV

Винокуров Юрий
14. Кодекс Охотника
Фантастика:
боевая фантастика
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Охотника. Книга XIV

Последняя Арена

Греков Сергей
1. Последняя Арена
Фантастика:
боевая фантастика
постапокалипсис
рпг
6.20
рейтинг книги
Последняя Арена

Совок 2

Агарев Вадим
2. Совок
Фантастика:
альтернативная история
7.61
рейтинг книги
Совок 2

Темный Патриарх Светлого Рода 3

Лисицин Евгений
3. Темный Патриарх Светлого Рода
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Темный Патриарх Светлого Рода 3

Наваждение генерала драконов

Лунёва Мария
3. Генералы драконов
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Наваждение генерала драконов

Смерть может танцевать 2

Вальтер Макс
2. Безликий
Фантастика:
героическая фантастика
альтернативная история
6.14
рейтинг книги
Смерть может танцевать 2

Огненный князь 2

Машуков Тимур
2. Багряный восход
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Огненный князь 2

Сама себе хозяйка

Красовская Марианна
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Сама себе хозяйка